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    在正2004边形A1A2…A2004各顶点上随意填上1，2，…501中的一个数．试证明：一定存在四个顶点满足如下条件：
    （1）这四个顶点构成的四边形为矩形；
    （2）此四边形相对两顶点所填数之和相等．

    证明：（1）由题意知，顶点A1与Ai=1002为一组关于中心对称的点，其中i=1，2，…1002．
    则2004个顶点可分为1002组，
    顺次连接每两组的顶点，均可得到一个四边形，
    由于对角线互相平分且相等，
    所以，得到的四边形是矩形．

    （2）由题意，设在顶点A1上所填的数为a1，则
    2≤a1+ai=1002≤501×2，
    即2到1002共有1001个不同的数，
    又1002组有1002个数，由抽屉原则知，至少有两组顶点所填数之和相等，
    则此两组顶点即为所求的四个顶点．
    分析：要证明其为矩形，首先要了解矩形的性质，然后再依据题中条件进行证明，第二问中在多边形各顶点中，两个顶点的和在一个大区间中，所以至少有两组顶点所填数之和相等．
    点评：熟练掌握矩形的性质及判定，会证明四边形为矩形，会进行一些简单的应用问题．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    13、在正2004边形A1A2…A2004各顶点上随意填上1，2，…501中的一个数．试证明：一定存在四个顶点满足如下条件：
    （1）这四个顶点构成的四边形为矩形；
    （2）此四边形相对两顶点所填数之和相等．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    知识回顾：
    （1）如图1，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，我们把△DEF称为△ABC的中点三角形．则S△DEF：S△ABC=
     
    ；
    （2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，我们把四边形EFGH称为正方形ABCD的中点四边形，此时四边形EFGH的形状是
     
    ，S四边形EFGH：S四边形ABCD=
     
    ；
    （3）实践探究：
    如图3，在正五边形ABCDE中，若点F、G、H、M、N分别是边AB、BC、CD、DE、EA的中点，则中点五边形FGHMN的形状是
     
    ；若正五边形ABCDE的中心为点O，连接OE、ON，求S五边形FGHMN：S五边形ABCDE的值．
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    （4）拓展归纳：
    在正n边形A1A2 …An中，若点B1、B2 …Bn分别是边A1A2、A2A3、…、AnA1的中点，则中点n边形B1B2 …Bn的面积与正n边形A1A2 …An的面积之比为Sn边形B1B2…Bn：Sn边形A1A2…An=
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    知识回顾：
    （1）如图1，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，我们把△DEF称为△ABC的中点三角形．则S△DEF：S△ABC=________；
    （2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，我们把四边形EFGH称为正方形ABCD的中点四边形，此时四边形EFGH的形状是________，S四边形EFGH：S四边形ABCD=________；
    （3）实践探究：
    如图3，在正五边形ABCDE中，若点F、G、H、M、N分别是边AB、BC、CD、DE、EA的中点，则中点五边形FGHMN的形状是________；若正五边形ABCDE的中心为点O，连接OE、ON，求S五边形FGHMN：S五边形ABCDE的值．

    （4）拓展归纳：
    在正n边形A1A2 …An中，若点B1、B2 …Bn分别是边A1A2、A2A3、…、AnA1的中点，则中点n边形B1B2 …Bn的面积与正n边形A1A2 …An的面积之比为数学公式：数学公式=________．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    在正2004边形A1A2…A2004各顶点上随意填上1，2，…501中的一个数．试证明：一定存在四个顶点满足如下条件：
    （1）这四个顶点构成的四边形为矩形；
    （2）此四边形相对两顶点所填数之和相等．

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