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在正2004边形A1A2…A2004各顶点上随意填上1,2,…501中的一个数.试证明:一定存在四个顶点满足如下条件:
(1)这四个顶点构成的四边形为矩形;
(2)此四边形相对两顶点所填数之和相等.

证明:(1)由题意知,顶点A1与Ai=1002为一组关于中心对称的点,其中i=1,2,…1002.
则2004个顶点可分为1002组,
顺次连接每两组的顶点,均可得到一个四边形,
由于对角线互相平分且相等,
所以,得到的四边形是矩形.

(2)由题意,设在顶点A1上所填的数为a1,则
2≤a1+ai=1002≤501×2,
即2到1002共有1001个不同的数,
又1002组有1002个数,由抽屉原则知,至少有两组顶点所填数之和相等,
则此两组顶点即为所求的四个顶点.
分析:要证明其为矩形,首先要了解矩形的性质,然后再依据题中条件进行证明,第二问中在多边形各顶点中,两个顶点的和在一个大区间中,所以至少有两组顶点所填数之和相等.
点评:熟练掌握矩形的性质及判定,会证明四边形为矩形,会进行一些简单的应用问题.
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科目:初中数学 来源: 题型:

13、在正2004边形A1A2…A2004各顶点上随意填上1,2,…501中的一个数.试证明:一定存在四个顶点满足如下条件:
(1)这四个顶点构成的四边形为矩形;
(2)此四边形相对两顶点所填数之和相等.

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科目:初中数学 来源: 题型:

知识回顾:
(1)如图1,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点,我们把△DEF称为△ABC的中点三角形.则S△DEF:S△ABC=
 

(2)如图2,在正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,我们把四边形EFGH称为正方形ABCD的中点四边形,此时四边形EFGH的形状是
 
,S四边形EFGH:S四边形ABCD=
 

(3)实践探究:
如图3,在正五边形ABCDE中,若点F、G、H、M、N分别是边AB、BC、CD、DE、EA的中点,则中点五边形FGHMN的形状是
 
;若正五边形ABCDE的中心为点O,连接OE、ON,求S五边形FGHMN:S五边形ABCDE的值.
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(4)拓展归纳:
在正n边形A1A2 …An中,若点B1、B2 …Bn分别是边A1A2、A2A3、…、AnA1的中点,则中点n边形B1B2 …Bn的面积与正n边形A1A2 …An的面积之比为Sn边形B1B2BnSn边形A1A2An=
 

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

知识回顾:
(1)如图1,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点,我们把△DEF称为△ABC的中点三角形.则S△DEF:S△ABC=________;
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,我们把四边形EFGH称为正方形ABCD的中点四边形,此时四边形EFGH的形状是________,S四边形EFGH:S四边形ABCD=________;
(3)实践探究:
如图3,在正五边形ABCDE中,若点F、G、H、M、N分别是边AB、BC、CD、DE、EA的中点,则中点五边形FGHMN的形状是________;若正五边形ABCDE的中心为点O,连接OE、ON,求S五边形FGHMN:S五边形ABCDE的值.

(4)拓展归纳:
在正n边形A1A2 …An中,若点B1、B2 …Bn分别是边A1A2、A2A3、…、AnA1的中点,则中点n边形B1B2 …Bn的面积与正n边形A1A2 …An的面积之比为数学公式数学公式=________.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

在正2004边形A1A2…A2004各顶点上随意填上1,2,…501中的一个数.试证明:一定存在四个顶点满足如下条件:
(1)这四个顶点构成的四边形为矩形;
(2)此四边形相对两顶点所填数之和相等.

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