Question

如图，已知点P为∠AOB的角平分线上的一点，点D在边OA上．爱动脑筋的小刚经过仔细观察后，进行如下操作：在边OB上取一点E，使得PE=PD，这时他发现∠OEP与∠ODP之间有一定的相等关系，请你写出∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系________．

Answer 1

∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°
分析：数量关系是∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，理由是以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E₂，连接PE₂，根据SAS证△E₂OP≌△DOP，推出E₂P=PD，得出此时点E₂符合条件，此时∠OE₂P=∠ODP；以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E₁，连接PE₁，根据等腰三角形性质推出∠PE₂E₁=∠PE₁E₂，求出∠OE₁P+∠ODP=180°即可．
解答：解：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，
理由是：以O为圆心，以OD为半径作弧，交OB于E₂，连接PE₂，
∵在△E₂OP和△DOP中
，
∴△E₂OP≌△DOP（SAS），
∴E₂P=PD，
即此时点E₂符合条件，此时∠OE₂P=∠ODP；
以P为圆心，以PD为半径作弧，交OB于另一点E₁，连接PE₁，
则此点E₁也符合条件PD=PE₁，
∵PE₂=PE₁=PD，
∴∠PE₂E₁=∠PE₁E₂，
∵∠OE₁P+∠E₂E₁P=180°，
∵∠OE₂P=∠ODP，
∴∠OE₁P+∠ODP=180°，
∴∠OEP与∠ODP所有可能的数量关系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°，
故答案为：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生的猜想能力和分析问题和解决问题的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．