Question

5．如图（1），在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（0，3）．沿x轴向右平移Rt△ABO，得Rt△A′B′O′，直线O′B′与AB或BA的延长线相交于点D．设D（x，y）（x＞0），以点A，A′，B′，D为顶点的四边形面积记为S．

（Ⅰ）求y与x的函数关系式；
（Ⅱ）用含x（x≠4）的式子表示S；
（Ⅲ）当$S=\frac{10}{3}$，求点D的坐标（直接写出结果）．（图2为备用图）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由平行得到相似，得到比例式求出函数关系式；
（Ⅱ）分两种情况计算①当 0＜x＜4时，点D在AB上，②当x＞4时，点D在BA延长线上，利用面积的和差求解；
（Ⅲ）将S=$\frac{10}{3}$代如面积函数关系中，求出x的值，再代入函数关系式中求解即可．

解答 解：（Ⅰ）当点O'与点A不重合时，
∵B'O'∥OB，
∴△ADO'∽△ABO．
∴$\frac{DO'}{BO}=\frac{AO'}{AO}$．
如图（1），

点D在AB上，
有AO'=AO-O'O=4-x．
∴$\frac{y}{3}=\frac{4-x}{4}$．
即：y=-$\frac{3}{4}$x+3．
如图（2），

点D在BA延长线上，
有AO'=O'O-AO=x-4．
∴$\frac{-y}{3}=\frac{x-4}{4}$．
即：y=-$\frac{3}{4}$x+3．
当点O'与点A重合时，D与A重合，此时，x=4，y=0．
∴y与x的关系是：y=-$\frac{3}{4}$x+3．
（Ⅱ）①如图（1），当 0＜x＜4时，点D在AB上，
有 S_{四边形AA'B'D}=S_△A'B'O'-S_△ADO'．
∴S=$\frac{1}{2}$′O′×B′O′-$\frac{1}{2}$AO′×DO′
把 DO′=y=-$\frac{3}{4}$x+3，代入，
得S=$\frac{1}{2}$×4×4-$\frac{1}{2}$×（4-x）×（-$\frac{3}{4}$x+3）．
∴S=-$\frac{3}{8}$x²+3x（0＜x＜4）．
②如图（2），当x＞4时，点D在BA延长线上，
∵平移△AOB得到△A'O'B'，
∴OO'=AA'=x，O'D=|y|=-y．
∵S_{四边形ADA'B}'=S_△AA'D+S_△AA'B'
∴S=S_△AA′B′+S_△AA′D=$\frac{1}{2}$AA′×B′O′+$\frac{1}{2}$AA′×DO′．
把 y=-$\frac{3}{4}$x+3．代入，得S=$\frac{1}{2}$x×3+$\frac{1}{2}$x（-y）=$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{2}$x（-$\frac{3}{4}$x+3）=$\frac{3}{8}$x²．
综上，$S=\left\{\begin{array}{l}-\frac{3}{8}{x^2}+3，0＜x＜4\\ \frac{3}{8}{x^2}，x＞4.\end{array}\right.$
（Ⅲ）D（$\frac{4}{3}$，2）
把S=$\frac{10}{3}$代入S=-$\frac{3}{8}$x²+3x，得 x₁=$\frac{4}{3}$，x₂=$\frac{20}{3}$＞4（舍）．
把x=$\frac{4}{3}$，代入y=-$\frac{3}{4}$x+3，得y=2．
∴D（$\frac{4}{3}$，2）；
把S=$\frac{10}{3}$代入S=$\frac{3}{8}$x²，得x₁=-$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$（舍），x₂=$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$（舍）．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了几何图形面积的计算方法，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是计算图形的面积．