分析 （1）结论：OE=OF，如图1中，连接OC．由CA=CB，∠ACB=90°，OA=OB，推出OC=OB，OC⊥AB，∠OBC=∠BCO=45°，取BC的中点K，连接EK、KO，由CE⊥DB，推出∠CEB=90°，EK=CK=KB=OK，推出C、E、O、B四点共圆，推出∠OEF=$\frac{1}{2}$∠OKB，由此即可解决问题．
（2）由△DCE∽△DBC，得$\frac{CD}{DB}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{CE}{BC}$，求出DE、CE、EB，由△EOC≌△FOB，得CE=BF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，推出EF=BE-BF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，由OE=EF•cos45°即可解决问题．
（3）由△DCE∽△DBC，得$\frac{CD}{DB}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{CE}{BC}$，求出DE、CE、EB，由△EOC≌△FOB，得CE=BF，根据°计算即可．
解答 解：（1）结论：OE=OF，理由如下，
如图1中，连接OC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，OA=OB，
∴OC=OB，OC⊥AB，∠OBC=∠BCO=45°，取BC的中点K，连接EK、KO，
∵CE⊥DB，
∴∠CEB=90°，EK=CK=KB=OK，
∴C、E、O、B四点共圆，
∴∠OEF=$\frac{1}{2}$∠OKB，
∵OC=OB，CK=KB，
∴OK⊥BC，
∴∠OKB=90°，
∴∠OEB=45°，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠OEF=∠OFE=45°，
∴OE=OF．
（2）如图2所示，连接OC．
∵BC=CA=4，CD=AD=2，
在Rt△DCB中，BD=$\sqrt{C{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠CDE=∠CDB，∠CED=∠DCB，
∴△DCE∽△DBC，
∴$\frac{CD}{DB}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{CE}{BC}$，
∴$\frac{2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{DE}{2}$=$\frac{CE}{4}$，
∴DE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，CE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴BE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∵∠EOF=∠COB=90°，
∴∠EOC=∠FOB，
在△EOC和△FOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{EO=OF}\\{∠EOC=∠FOB}\\{OC=OB}\end{array}\right.$，
∴△EOC≌△FOB，
∴CE=BF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴EF=BE-BF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴OE=EF•cos45°=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
（3）如图3中，连接AC．
由题意CD=2，BC=6，BD=2$\sqrt{10}$，
∵△DCE∽△DBC，
∴$\frac{CD}{DB}$=$\frac{DE}{DC}$=$\frac{CE}{BC}$，
∴$\frac{2}{2\sqrt{10}}$=$\frac{DE}{2}$=$\frac{EC}{6}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，CE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，EB=$\frac{9\sqrt{10}}{5}$，
∵△EOC≌△FOB，
∴CE=BF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
∴EF=EB-BF=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，
∴OE=EF•cos45°=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
鹰派教辅衔接教材河北教育出版社系列答案
初中暑期衔接系列答案科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC、BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．查看答案和解析>>
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如图，在?ABCD中，∠CAB=90°，OA=1cm，OB=2cm，求AC，AD的长．