唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望峰火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题--将军饮马问题:
如图1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河旁边的P点饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?
做法如下:如图1,从B出发向河岸引垂线,垂足为D,在AD的延长线上,取B关于河岸的对称点B′,连接AB′,与河岸线相交于P,则P点就是饮马的地方,将军只要从A出发,沿直线走到P,饮马之后,再由P沿直线走到B,所走的路程就是最短的.
(1)观察发现
再如图2,在等腰梯形ABCD中,AB=CD=AD=2,∠D=120°,点E、F是底边AD与BC的中点,连接EF,在线段EF上找一点P,使BP+AP最短.
作点B关于EF的对称点,恰好与点C重合,连接AC交EF于一点,则这点就是所求的点P,故BP+AP的最小值为
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(2)实践运用
如图3,已知⊙O的直径MN=1,点A在圆上,且∠AMN的度数为30°,点B是弧AN的中点,点P在直径MN上运动,求BP+AP的最小值.
(3)拓展迁移
如图4,已知抛物线y=ax
2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
①求这条抛物线所对应的函数关系式;
②在抛物线的对称轴直线x=1上找到一点M,使△ACM周长最小,请求出此时点M的坐标与△ACM周长最小值.(结果保留根号)
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