Question

如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长为1．
（1）∠BCD是不是直角？请说明理由（可以适当添加字母）
（2）求出四边形ABCD的面积；
（3）连接BD，求△ABD边AD上的高．

Answer 1

分析：（1）连接BD，由于每一个小正方形的边长都为1，根据勾股定理可分别求出△BCD的三边长，根据勾股定理的逆定理即可判断出△BCD的形状．
（2）S_{四边形ABCD}=S_{正方形AHEJ}-S_△BCE-S_△ABH-S_△ADI-S_△DCF-S_{正方形DFJI}；
（3）S_△ABD=S_{四边形ABCD}-S_△BCD．

解答：解：（1）∵BC²=CE²+BE²=2²+4²=20，CD²=CF²+DF²=1²+2²=5，BD²=GD²+BG²=3²+4²=25，（勾股定理）
∴BD²=BC²+CD²
根据勾股定理的逆定理可得∠BCD是直角．

（2）根据图示知，
S_{四边形ABCD}=S_{正方形AHEJ}-S_△BCE-S_△ABH-S_△ADI-S_△DCF-S_{正方形DFJI}，
则S_{四边形ABCD}=5×5-

1

2

×2×4-

1

2

×1×5-

1

2

×1×4-

1

2

×2×1-1×1=

29

2

，即四边形ABCD的面积是

29

2

；

（3）设△ABD边AD上的高为h．
由（2）知，S_{四边形ABCD}=

29

2

．
根据图示知，S_△ABD=S_{四边形ABCD}-S_△BCD，由（1）知，BD=5，BC=2

5

，CD=

5

，
则

1

2

×

17

•h=

29

2

-

1

2

×

5

×2

5

，
解得，h=

19 17

17

．
所以，△ABD边AD上的高是

19 17

17

．

点评：本题考查了勾股定理、三角形的面积以及勾股定理的逆定理．解答（2）题时，采用了“分割法”来求不规则四边形ABCD的面积．