Question

如图，在平面直角坐标系中，点O₁的坐标为（-4，0），以点O₁为圆心，8为半径的圆与x轴交于A、B两点，过点A作直线l与x轴负方向相交成60°角．以点O₂（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D．

（1）求直线l的解析式；
（2）将⊙O₂以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，当⊙O₂第一次与⊙O₁相切时，直线l也恰好与⊙O₂第一次相切，求直线l平移的速度；
（3）将⊙O₂沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，EG为⊙O₂的直径，过点A作⊙O₂的切线，切⊙O₂于另一点F，连接AO₂、FG，那么FG•AO₂的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围．

Answer 1

分析：因为⊙O₂不断移动的同时，直线l也在进行着移动，而圆与圆的位置关系有：相离（外离，内含），相交、相切（外切、内切〕，直线和圆的位置关系有：相交、相切、相离，所以这样一来，我们在分析过程中不能忽略所有的可能情况．

解答：解：（1）设直线l与y轴交于点N，
直线l经过点A（-12，0），
∵∠OAN=60°，
∴tan30°=

12

NO

，
解得：NO=12

3

，
故与y轴交于点（0，-12

3

），
设解析式为y=kx+b，则b=-12

3

，k=-

3

，
∴直线l的解析式为y=-

3

x-12

3

；

（2）⊙O₂第一次与⊙O₁相切时，向左平移了5秒（5个单位）如图所示．
在5秒内直线l平移的距离计算：
8+12-

5

3

=20-

5

3

3

所以直线l平移的速度为每秒（4-

3

3

）个单位；

（3）其值不变．
∵Rt△EFG∽Rt△AEO₂
于是可得：

FG

O2E

=

EG

AO2

（其中O₂E=

1

2

EG）
所以FG•AO₂=

1

2

EG²=50，即其值不变．

点评：本题综合考查了直线与圆、圆与圆的位置关系，全等三角形的判定，图形的平移变换等多个知识点．考查学生综合运用数学的能力．