Question

【题目】在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．

（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
（2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；
（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），

∴点A′的坐标为：（4，0），

∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点C、A、A′，

设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，

∴ ，

解得： ，

∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+4；

（2）

解：

连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，

∴ ，

解得： ，

∴直线AA′的解析式为：y=﹣x+4，

设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），

则S△AMA′= ×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，

∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，

∴M的坐标为：（2，6）；

（3）

解：设点P的坐标为（x，﹣x2+3x+4），当P，N，B，Q构成平行四边形时，

∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），

∴点B的坐标为（1，4），

∵点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，

①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ，

∵BQ=4，

∴﹣x2+3x+4=±4，

当﹣x2+3x+4=4时，解得：x1=0，x2=3，

∴P1（0，4），P2（3，4）；

当﹣x2+3x+4=﹣4时，解得：x3= ，x2= ，

∴P3（ ，﹣4），P4（ ，﹣4）；

②当PQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P1，P2重合；

综上可得：点P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（ ，﹣4），P4（ ，﹣4）；

如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．

【解析】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三角形面积问题．掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．
【考点精析】通过灵活运用确定一次函数的表达式和三角形的面积，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；三角形的面积=1/2×底×高即可以解答此题．