Question

【题目】把一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形（如图1）．

（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（直接用含，的代数式表示）

方法1：________，方法2：____；

（2）根据（1）中结论，请你写出下列三个代数式，，间的等量关系：____；

（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：己知实数、满足，，请求出的值：

（4）已知，请求出的值．

Answer 1

【答案】（1）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（2）（m-n）2=（m+n）2-4mn;(3) 1；(4) ± ．

【解析】

（1）由题意知，阴影部分为一正方形，其边长正好为m-n．根据正方形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积，也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积由图形可得，大正方形的面积减去四个小长方形的面积正好等于图中阴影部分的面积．
（2）由（1）中的两种方法表示阴影部分的面积故它们相等，从而得到这三个代数式的数量关系；

（3）将两式分别平方后展开，再把两相减即可求出ab的值；
（4）用完全平方公式进行变形即可求出x的值．

解：（1）方法1：由题意可得阴影部分为一正方形，其边长正好为m-n，
∴阴影部分的面积（m-n）2，
方法2：图中阴影部分的面积用大正方形的面积减去四个小长方形的面积可得：（m+n）2-4mn，
故答案为：（m-n）2；（m+n）2-4mn；
（2）由图2得：（m+n）2-4mn=（m-n）2；
故答案为：（m-n）2=（m+n）2-4mn．
（3）∵a+b＝ ，a-b=1，
∴（a+b）2=5，（a-b）2=1，
即a2+2ab+b2=5，a2-2ab+b2=1，
两式相减得：4ab=4，
∴ab=1；
（4）∵x+＝3，
∴(x+)2＝9，
∴x2+2+＝9，

∴x22+＝5，
∴(x)2＝5，
∴x＝± ．