【题目】如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D、E分别是AB、BC的中点,把△BDE绕点B旋转,连接AD、AE、CD、CE,如图2.
(1)求证:△BDE∽△BAC.
(2)求△ABE面积最大时,△ADE的面积.
(3)在旋转过程中,当点D落在△ACE的边所在直线上时,直接写出CE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)满足条件的CE的值为或+1或﹣1.
【解析】
1)利用三角形的中位线定理即可解决问题.
当时,的面积最大,根据求解即可.
分4种情形:如图中,当点D在线段AE上时,如图中,当点D在线段CE上,分别求解即可.如图中,当点D在AE的延长线上时.如图中,当点D在CE的延长线上时,分别求解即可.
解:(1)如图1中,
∵点D、E分别是AB、BC的中点,
∴DE∥AC,
∴△BDE∽△BAC.
(2)如图2中,作AH⊥BC于H.
当EB⊥AB时,△ABE的面积最大,
S△ADE=S△ABE﹣S△BDE﹣S△ADB=.
(3)如图3﹣2中,当点D在AE上时,
∵∠ABC=∠DBE=45°,
∴∠ABD=∠CBE,
,
∴△ABD∽△CBE,
∴∠ADB=∠BEC=90°,
∴EC=.
如图3﹣2中,当点D在线段CE上,
在Rt△BDC中,CD=,
∴EC=1+.
如图3﹣3中,当点D在AE的延长线上时,易证∠BEC=90°,CE=
如图3﹣4中,当点D在CE的延长线上时,
在Rt△BCD中,CD=,,
∴EC=﹣1
综上所述,满足条件的CE的值为或+1或﹣1.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,已知AC=2,AB=5.
(1)求BD的长;
(2)点E为直线AD上的一个动点,连接CE,将线段EC绕点C顺时针旋转∠BCD的角度后得到对应的线段CF(即∠ECF=∠BCD),EF交CD于点P.
①当E为AD的中点时,求EF的长;
②连接AF、DF,当DF的长度最小时,求△ACF的面积.
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【题目】如图,在平面直接坐标系中,将反比例函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的曲线l,过点,的直线与曲线l相交于点C、D,则sin∠COD=___ .
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【题目】如图甲,在平面直角坐标系中,直线分别交x轴、y轴于点A、B,⊙O的半径为个单位长度,点P为直线y=﹣x+6上的动点,过点P作⊙O的切线PC、PD,切点分别为C、D,且PC⊥PD.
(1)判断四边形OCPD的形状并说明理由.
(2)求点P的坐标.
(3)若直线y=﹣x+6沿x轴向左平移得到一条新的直线y1=﹣x+b,此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1:3,请直接写出b的值.
(4)若将⊙O沿x轴向右平移(圆心O始终保持在x轴上),试写出当⊙O与直线y=﹣x+6有交点时圆心O的横坐标m的取值范围.(直接写出答案)
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【题目】如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.
(1)求证:BE=CF.
(2)若AB=CF,∠B=40°,求∠D的度数.
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【题目】甲乙两人从A地出发去相距1800米的B地,甲出发1.5分钟后乙再出发,在中途乙追上甲,追上甲后,乙发现有东西忘带了,于是以原来1.2倍的速度返回,甲则继续以原速度前行,乙返回A地后取东西花了2分钟,取完东西后立即以返回时的速度追甲,甲达到B地以后立即返回,并与乙在途中相遇,设甲乙两人之间的距离为y(米),甲出发的时间为x(分钟),y与x的关系如图所示,则当甲乙两人第二次相遇时,两人距B地的距离为_____米.
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【题目】如图1,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D为线段AC的中点,直线BD与抛物线交于另一点E,与y轴交于点F.
(1)如图1,点P是直线BE上方抛物线上一动点,连接PD,PF,当△PDF的面积最大时,在线段BE上找一点G,使得PG﹣EG的值最小,求出PG﹣EG的最小值;
(2)如图2,点M为抛物线上一点,点N在抛物线的对称轴上,点K为平面内一点,当以点A、M、N、K为顶点的四边形是正方形时,直接写出点N的坐标.
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【题目】某电视台的一档娱乐性节目中,在游戏PK环节,为了随机分选游戏双方的组员,主持人设计了以下游戏:用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1,只露出它们的头和尾(如图所示),由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳,并拉出,若两人选中同一根细绳,则两人同队,否则互为反方队员.
(1)若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出,求他恰好抽出细绳AA1的概率;
(2)请用画树状图法或列表法,求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率.
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【题目】窑沟村对第一季度A、B两种水果的销售情况进行统计,两种水果的销售量如图所示.
(1)第一季度B种水果的月平均销售量是多少吨?
(2)一月A种水果的销售量是50吨,到三月A种水果的销售量是72吨,第一季度A种水果的销售量的月平均增长率相同,求二月A种水果销售了多少吨?
(3)根据以上信息,请将统计图补充完整.
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