Question

10．如图，已知抛物线y=-x²+2x的顶点为A，直线y=x-2与抛物线交于B，C两点．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）作CD⊥x轴于点D，求证：△ODC∽△ABC；
（3）若点P为抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，则是否还存在除C点外的其他位置的点，使以O，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出这样的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把抛物线解析式化为顶点式可求得A点坐标，联立直线与抛物线解析式，解方程组，可求得B、C的坐标；
（2）由A、B、C三点的坐标可求得AB、BC和AC的长，可判定△ABC为直角三角形，且可得$\frac{OD}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$，可证得结论；
（3）设M（x，0），则P（x，-x²+2x），从而可表示出OM和PM的长，分$\frac{PM}{AB}$=$\frac{OM}{BC}$和$\frac{PM}{BC}$=$\frac{OM}{AB}$两种情况，分别得到关于x的方程，可求得x的值，可求得P点坐标．

解答 解：
（1）∵y=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴A（1，1），
联立直线与抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x}\\{y=x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴B（2，0），C（-1，-3）；

（2）证明：
∵A（1，1），B（2，0），C（-1，-3），
∴AB=$\sqrt{（1-2）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{（2+1）^{2}+（0+3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（1+1）^{2}+（1+3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AB²+BC²=2+18=20=AC²，
∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴∠ABC=∠ODC，
∵C（-1，-3），
∴OD=1，CD=3，
∴$\frac{AB}{OD}$=$\sqrt{2}$=$\frac{BC}{CD}$，
∴△ODC∽△ABC；

（3）设M（x，0），则P（x，-x²+2x），
∴OM=|x|，PM=|-x²+2x|，
∵∠OMP=∠ABC=90°，
∴当以△OPM与△ABC相似时，有$\frac{PM}{AB}$=$\frac{OM}{BC}$或$\frac{PM}{BC}$=$\frac{OM}{AB}$两种情况，
①当$\frac{PM}{AB}$=$\frac{OM}{BC}$时，则$\frac{|-{x}^{2}+2x|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|x|}{3\sqrt{2}}$，解得x=$\frac{5}{3}$或x=$\frac{7}{3}$，此时P点坐标为（$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{9}$）或（$\frac{7}{3}$，-$\frac{7}{9}$）；
②当$\frac{PM}{BC}$=$\frac{OM}{AB}$时，则$\frac{|-{x}^{2}+2x|}{3\sqrt{2}}$=$\frac{|x|}{\sqrt{2}}$，解得x=5或x=-1（与C点重合，舍去），此时P点坐标为（5，-15）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{9}$）或（$\frac{7}{3}$，-$\frac{7}{9}$）或（5，-15）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质、函数图象的交点、勾股定理及其逆定理、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意函数图象交点的求法，在（2）中证得△ABC为直角三角形是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出PM和OM的长是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．