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18.四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AB=BC,AD=7,tanA=2,求CD的长.

分析 延长AD交BC的延长线于点E,根据∠D=∠B=90°,得到∠EDC=90°,∠DCE=∠A,由tanA=2,求得tan∠ECD=tanA=$\frac{DE}{CD}=\frac{BE}{AB}$=2,推出CE=AB=BC,设CD=x,则DE=2x,根据勾股定理得到AB=BC=CE=$\sqrt{D{E}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$x,BE=2$\sqrt{5}$x,然后再根据勾股定理列方程即可得到结论.

解答 解:延长AD交BC的延长线于点E,
∵∠B=∠D=90°,
∴∠EDC=90°,∠DCE=∠A,
∵tanA=2,
∴tan∠ECD=tanA=$\frac{DE}{CD}=\frac{BE}{AB}$=2,
∵AB=BC,
∴CE=AB=BC,
设CD=x,则DE=2x,
∴AB=BC=CE=$\sqrt{D{E}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$x,
∴BE=2$\sqrt{5}$x,
∵AB2+BE2=AE2
即($\sqrt{5}$x)2+(2$\sqrt{5}$x)2=(7+2x)2
解得:x=$\frac{7}{3}$(负值舍去),
∴CD的长是$\frac{7}{3}$.

点评 本题考查的是解直角三角形,勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.

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