Question

13．函数y=x²+mx+m⁴的图象被x轴所截弦长的最大值为$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由根与系数的关系表示出两交点间距离，根据二次函数的性质可求出最值．

解答 解：设抛物线y=x²+mx+m⁴与x轴两交点坐标为（x₁，0）（x₂，0），则x₁+x₂=-m，x₁x₂=m⁴，
|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{-4{m}^{4}+{m}^{2}}$=$\sqrt{-4（{m}^{2}-\frac{1}{8}）^{2}+\frac{1}{16}}$，
∴函数y=x²+mx+m⁴的图象被x轴所截弦长的最大值为$\sqrt{\frac{1}{16}}$=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点与一元二次方程的关系，根据根与系数的关系求出|x₁-x₂|是解决问题的关键．