【题目】如图①,在平面直角坐标系中,抛物线经过点两点,且与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图①,在抛物线的对称轴上寻找一点M,使得△ACM的周长最小,求点M的坐标.
(3)如图②,用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴,并沿x轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P,Q两点(点P在点Q的左侧),连接PQ,在线段PQ上方抛物线上有一动点D,连接DP,DQ.若点P的横坐标为,求△DPQ面积的最大值,并求此时点D的坐标;
【答案】(1);(2)(1,2);(3)的面积最大值为8,此时点的坐标为,.
【解析】
(1)根据待定系数法求解即可;
(2)本题是典型的“将军饮马”问题,由抛物线的对称性知:点A关于对称轴的对称点为点B,故只需连接BC交直线x=1于点M,则M就是使得△ACM周长最小的点,然后根据待定系数法求出直线BC的解析式,而抛物线的对称轴易求,则点M的坐标可得;
(3)根据题意易求出点P、Q两点坐标,然后利用待定系数法可求出直线PQ的解析式,过点作DE∥y轴交直线于点,如图④,设点D的横坐标为x,则DE的长可用含x的代数式表示,再根据可得关于x的关系式,然后根据二次函数的性质即可求出结果.
解:(1)将、代入,得:
,
解得:,
抛物线的表达式为;
(2)∵抛物线的解析式是,
当x=0时,y=3,
∴点C的坐标为(0,3),抛物线的对称轴为直线x=1,
根据抛物线的对称性知:点A关于对称轴的对称点为点B,连接BC交直线x=1于点M,则M就是使得△ACM周长最小的点,如图③,
设直线BC的解析式为y=kx+3,
∵点B(3,0)在直线BC上,
∴0=3k+3,
解得:k=﹣1,
即直线BC的解析式为y=﹣x+3,
当x=1时,y=﹣1+3=2,
故BC与对称轴的交点M的坐标为(1,2),
∴△ACM周长最小时,点M的坐标为(1,2);
(3)当点的横坐标为时,点的横坐标为,
此时点的坐标为,,点的坐标为,.
设直线的表达式为,
将,、,代入,得:,
解得:,
直线的表达式为.
如图④,过点作DE∥y轴交直线于点,
设点的坐标为,则点的坐标为,
,
.
,
当时,的面积取最大值,最大值为8,此时点的坐标为,.
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【题目】如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=2,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合),在AC上取一点E,使∠ADE=30°.
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)设BD=x,AE=y,求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;
(3)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.
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【题目】某蛋糕房推出一种新品蛋糕,每个成本为50元经过一段时间的售卖发现,当单价定为90元的时候,可卖100个,而单价每降低1元,就会多卖出10个
(1)写出销售量 (个)与销售单价(元)之间的函数关系式;
(2)若设销售这种蛋糕的利润为(元),请写出与销售单价 (元)之间的函数关系式,并计算当销售单价定为多少元时该蛋糕房可获得最大利润(不需要计算最大利润);
(3)若想尽可能地降低成本,并使该蛋糕房获利6000元,应将销售单价定为多少元?
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【题目】如图,有四张背面完全相同的纸牌,其正面分别画有四个不同的几何图形,将这四张纸牌背面朝上洗匀.
(1)从中随机摸出一张,求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率;
(2)小明和小亮约定做一个游戏,其规则为:先由小明随机摸出一张纸牌,不放回,再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张,若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形小明获胜,否则小亮获胜,这个游戏公平吗?请用列表法(或树状图)说明理由(纸牌用表示).
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【题目】某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况(新闻、体育、动画、娱乐、戏曲),从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查,并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图.
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)这次被调查的学生共有多少人?
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)若该校约有1500名学生,估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人?
(4)该校广播站需要广播员,现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答)
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【题目】阅读:我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线”.例如,点M(1,3)的特征线有:x=1,y=3,y=x+2,y=x+4.如图,在平面直角坐标系中有正方形OABC,点B在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线经过B.C两点,顶点D在正方形内部.
(1)写出点M(2,3)任意两条特征线___________________
(2)若点D有一条特征线是y=x+1,求此抛物线的解析式________________________
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【题目】阅读材料:各类方程的解法
求解一元一次方程,根据等式的基本性质,把方程转化为x=a的形式.求解二元一次方程组,把它转化为一元一次方程来解;类似的,求解三元一次方程组,把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程,把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程,把它转化为整式方程来解,由于“去分母”可能产生增根,所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同,但是它们有一个共同的基本数学思想转化,把未知转化为已知.
用“转化”的数学思想,我们还可以解一些新的方程.例如,一元三次方程x3+x2-2x=0,可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.
(1)问题:方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ,x3= ;
(2)拓展:用“转化”思想求方程的解;
(3)应用:如图,已知矩形草坪ABCD的长AD=8m,宽AB=3m,小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B,沿草坪边沿BA,AD走到点P处,把长绳PB段拉直并固定在点P,然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处,把长绳剩下的一段拉直,长绳的另一端恰好落在点C.求AP的长.
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【题目】如图1,在四边形中,∥,,直线.当直线沿射线方向,从点开始向右平移时,直线与四边形的边分别相交于点、.设直线向右平移的距离为,线段的长为,且与的函数关系如图2所示,则四边形的周长是_____.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AD是△ABC的中线,AE∥BC,射线BE交AD于点F,交⊙O于点G,点F是BE的中点,连接CE.
(1)求证:四边形ADCE为平行四边形;
(2)若BC=2AB,求证: .
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