Question

已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC、AE．
（1）求证：△ADE≌△DFC；
（2）过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连接AH．求∠AHE的度数；
（3）若BG=

2

3

，CH=2，求BC的长．

Answer 1

分析：（1）由旋转的性质，可得△ADE是等边三角形，由等边三角形的性质，易得DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，AD=DF，可得△ADE≌△DFC；
（2）由△ADE≌△DFC，易得ED∥BC，EH∥DC，即可得四边形EHCD是平行四边形，易得△AEH是等边三角形，即可求得∠AHE的度数；
（3）由平行四边形的性质，易得△BGH∽△BDC，又由相似三角形的对应边成比例，易得BC的长．

解答：（1）证明：如图，
∵线段DB顺时针旋转60°得线段DE，
∴∠EDB=60°，DE=DB．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°．
∴∠EDB=∠B．
∴EF∥BC．
∴DB=FC，∠ADF=∠AFD=60°．
∴DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，△ADF是等边三角形．
∴AD=DF．
∴△ADE≌△DFC．

（2）解：由△ADE≌△DFC，
得AE=DC，∠1=∠2．
∵ED∥BC，EH∥DC，
∴四边形EHCD是平行四边形．
∴EH=DC，∠3=∠4．
∴AE=EH．
∴∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=60°．
∴△AEH是等边三角形．
∴∠AHE=60°．

（3）解：设BH=x，则AC=BC=BH+HC=x+2，
由（2）四边形EHCD是平行四边形，
∴ED=HC．
∴DE=DB=HC=FC=2．
∵EH∥DC，
∴△BGH∽△BDC．
∴

BG

BD

=

BH

BC

．
即

2 3

2

=

x

x+2

．
解得x=1．
∴BC=3．

点评：此题考查了全等三角形的性质与判定，以及相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质与判定．此题属于综合性题目，比较难，解题时要注意仔细识图．