Question

（2013•历城区一模）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M．下列结论：①AE=CG，②AE⊥CG，③DM∥GE，④OM=OD，⑤∠DME=45°．正确结论的个数为（　　）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

Answer 1

分析：根据正方形的性质可得AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，然后求出∠ADE=∠CDG，再利用“边角边”证明△ADE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CG，判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，再求出∠MEG+∠MGE=∠DEG+∠DGE=90°，然后求出∠EMG=90°，判定②正确；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OM=OD=

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GE，判定④正确；求出点D、E、G、M四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠DME=∠DGE=45°，判定⑤正确；根据∠MGE≠45°可得∠DME≠∠MGE，判定DM∥GE错误．

解答：解：∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，
∴∠ADC+∠ADG=∠EDG+∠ADG，
即∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDF中，

AD=CD ∠ADE=∠CDG DE=DG

，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE=CG，故①正确；
∠1=∠2，
∵∠MEG+∠MGE=∠MEG+∠DGE+∠1=∠MEG+∠2+∠DGE=∠DEG+∠DGE=45°+45°=90°，
∴∠EMG=180°-（∠MEG+∠MGE）=180°-90°=90°，
∴AE⊥CG，故②正确；
∵O是正方形DEFG的对角线的交点，
∴OE=OG，
∴OM=OD=

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GE，故④正确；
∵∠EMG=∠EDG=90°，
∴点D、E、G、M四点共圆，
∴∠DME=∠DGE=45°，故⑤正确；
∵∠MGE≠∠DEG=45°，
∴∠DME≠∠MGE，
∴DM∥GE不成立，故③错误；
综上所述，正确的有①②④⑤共4个．
故选C．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及四点共圆，熟练掌握各性质是解题的关键．