Question

【题目】在数列{an}中，a1=1，an+1=（n+1）an+（n+1）!． （Ⅰ）求证：数列 是等差数列，并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依题意， ， 所以 是以 为首项，1为公差的等差数列，
所以 ，
即an=nn!．
（Ⅱ）因为an=nn!=（n+1）!﹣n!，
所以Sn=（2!﹣1!）+（3!﹣2!）+…+[（n+1）!﹣n!]，
所以Sn=（n+1）!﹣1．
【解析】（Ⅰ）根据等差数列的定义进行证明即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）求得的{an}的通项公式和裂项相消求和解答．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．