Question

【题目】如图，四边形为正方形，为对角线上的动点，过点作，交射线于，交射线于．

(1)求证；；

(2)求证；；

(3)若，当时，直接写出的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或

【解析】

（1）连接EC，通过证明EG=EC，EF=EC，来证明EG=EF，进而转化为证明∠2=∠3，∠4=∠5即可；

（2）作EH⊥BC，易知EG=BE，由△GEH∽△GFC 易得CF=2EG，从而证得；

（3）分两种情况，F点在线段DC上和F点在线段CD的延长线上，设BE(或DE)的长为x,结合（2）的结论，利用等腰三角形及方程的思想即可得解.

（1）证明：连接CE，

∵四边形ABCD为正方形

∴BA=BC，∠ABC=∠BCD=90°

∠ABE=∠CBE=45°

又BE=BE

∴△ABE≌△CBE（SAS）

∴∠1=∠3

又FG⊥AE

∴∠AEM=90°

∴∠1+∠AME=90°

又∠2+∠BMG=∠ABC=90°，∠AME=∠BMG

∴∠1=∠2

∴∠2=∠3

∴EG=EC

又∠3+∠4=90°，∠2+∠5=90°

∴∠4=∠5

∴EC=EF

∴EF=EG

（2）作EH⊥BC，H为垂足，

则△BEH为等腰直角三角形，EG=BE，∠GHE=90°=∠BCD

又∠EGH=∠FGC

∴△GEH∽△GFC

∴

∴FC=2EH=2×EB=EB

（3）或，简证如下：

①延长AE,交GC于M，连接AC,过点M作MH⊥AC，交AC于点H，则CM=MH

∵，∠GEM=90°，∠EBM=45°,

∴，

∴BE=GB=GM，

又∵易得∠BAM=∠CAM=22.5°，

∴AM平分∠BAC，

∴BM=MH

设BE=x，则BM=MH=x，CM=x，

∴BM+MC=BC=AB

∴x+x=4，

解得：x=4(-1)，

即BE=4(-1)，而CF=BE，

∴CF=

延长AE,交DC于M，连接AC,过点M作MH⊥AC，交AC于点H，则CM=MH

设DE=x，则同理可得DE=DF=DM=MH=x，CM=x，

∵DM+CM=DC=AB

∴x+x=4，

解得：x=4(-1)，

∴DE=DM=DF=4(-1)，

∴CF=CD+DF=4+4(-1)=4，

综上：的长为或.