Question

14．解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}-xy=8y+3}\\{xy-{x}^{2}=8x-6}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 先将两个方程相减，得出y²-2xy+x²=8（y-x）+9，分解因式后可得y-x=9或y-x=-1；再将两个方程相加，得出y²-x²=8（y+x）-3，原方程组转化为2个方程组$\left\{\begin{array}{l}{y-x=9}\\{{y}^{2}-{x}^{2}=8（y+x）-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{y-x=-1}\\{{y}^{2}-{x}^{2}=8（y+x）-3}\end{array}\right.$，分别解2个方程组即可得到原方程组的解．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}-xy=8y+3}\\{xy-{x}^{2}=8x-6}\end{array}\right.$，
将两个方程相减，得出y²-2xy+x²=8（y-x）+9，
（y-x）²-8（y-x）-9=0，
（y-x-9）（y-x+1）=0，
y-x=9或y-x=-1；
将两个方程相加，得出y²-x²=8（y+x）-3，
则原方程组转化为2个方程组$\left\{\begin{array}{l}{y-x=9}\\{{y}^{2}-{x}^{2}=8（y+x）-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{y-x=-1}\\{{y}^{2}-{x}^{2}=8（y+x）-3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{y-x=9}\\{y+x=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{y-x=-1}\\{y+x=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．

点评 考查了高次方程，高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．