Question

15．已知在四边形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC=360°-x-y（用含x、y的代数式直接填空）；
（2）如图1，若x=y=90°．DE平分∠ADC，BF平分∠CBM，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角．
①若x+y=120°，∠DFB=20°，试求x、y．
②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．

Answer 1

分析 （1）利用四边形内角和定理进行计算，得出答案即可；
（2）利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出DE与BF的位置关系即可；
（3）①利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出∠DFB=$\frac{1}{2}$y-$\frac{1}{2}$x=20°，解方程组即可得出x，y的值；②当x=y时，可得∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在．

解答 解：（1）∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=x，∠C=y，
∴∠ABC+∠ADC=360°-x-y．
故答案为：360°-x-y．

（2）DE⊥BF．
理由：如图1，∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，
∴∠CDE=$\frac{1}{2}$∠ADC，∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CBM，
又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，
∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠DGC=∠BGE，
∴∠BEG=∠C=90°，
∴DE⊥BF；

（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM=360°-（360°-x-y）=x+y，
∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，
∴∠CDF+∠CBF=$\frac{1}{2}$（x+y），
如图2，连接DB，则∠CBD+∠CDB=180°-y，
∴∠FBD+∠FDB=180°-y+$\frac{1}{2}$（x+y）=180°-$\frac{1}{2}$y+$\frac{1}{2}$x，
∴∠DFB=$\frac{1}{2}$y-$\frac{1}{2}$x=20°，
解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{x+y=120°}\\{\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}x=20°}\end{array}\right.$，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{x=40°}\\{y=80°}\end{array}\right.$；
②当x=y时，∠FBD+∠FDB=180°-$\frac{1}{2}$y+$\frac{1}{2}$x=180°，
∴∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，
此时，∠DFB不存在．

点评 此题主要考查了多边形的内角和角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识的综合应用，解题时注意：四边形内角和为360°，正确利用角平分线的定义是解题关键．