Question

【题目】如图，公路为东西走向，在点北偏东方向上，距离千米处是村庄，在点北偏东方向上，距离千米处是村庄；要在公路旁修建一个土特产收购站(取点在上)，使得，两村庄到站的距离之和最短，请在图中作出的位置（不写作法）并计算：

（1），两村庄之间的距离；

（2）到、距离之和的最小值.（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75计算结果保留根号.）

Answer 1

【答案】(1) M，N两村庄之间的距离为千米;(2) 村庄M、N到P站的最短距离和是5千米．

【解析】

（1）作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．求出DN，DM，利用勾股定理即可解决问题．
（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长．

解：作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．

（1）在Rt△ANE中，AN=10，∠NAB=36.5°

∴NE=ANsin∠NAB=10sin36.5°=6，

AE=ANcos∠NAB=10cos36.5°=8，

过M作MC⊥AB于点C，

在Rt△MAC中，AM=5，∠MAB=53.5°

∴AC=MAsin∠AMB=MAsin36.5°=3，

MC=MAcos∠AMC=MAcos36.5°=4，

过点M作MD⊥NE于点D，

在Rt△MND中，MD=AE-AC=5，

ND=NE-MC=2，

∴MN==，

即M，N两村庄之间的距离为千米．

（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长．

DN′=10，MD=5，在Rt△MDN′中，由勾股定理，得

MN′==5（千米）

∴村庄M、N到P站的最短距离和是5千米．