Question

如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，且⊙O的直经BD=6，连接CD、AO、BC，且AO与BC相交于点E．
（1）求证：CD∥AO；
（2）设CD=x，AO=y，求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）请阅读下方资源链接内容．在（2）的基础上，若CD、AO的长分别为一元二次方程x²-（4m+1）x+4m²+2=0的两个实数根，求AB的长．

Answer 1

（1）连接OC，…（1分）
∵AB、AC是⊙O的切线，
∴∠ACO=∠ABO=90°，
在Rt△ACO和Rt△ABO中，

OC=OB AO=AO

，
∴Rt△ACO≌Rt△ABO（HL），
∴AB=AC，∠1=∠2，
∴AO⊥BC，
∴∠AEC=90°，…（2分）
∵BD是⊙O的直径，∴∠DCB=90°，
∴∠DCB=∠AEC，
∴CD∥AO；…（3分）

（2）∵CD∥AO，∴∠3=∠4，
∵AB是⊙O的切线，DB是直径，
∴∠DCB=∠ABO=90°，
∴△BDC∽△AOB，…（4分）
∴

BD

AO

=

DC

OB

，即

6

y

=

x

3

，
∴y=

18

x

，…（5分）
且自变量x的取值范围为0＜x＜6；…（6分）

（3）∵CD、AO的长分别为一元二次方程x²-（4m+1）x+4m²+2=0的两个实数根，
∴x•y=4m²+2，…（7分）
又由（2）知y=

18

x

，
∴xy=18，
∴4m²+2=18，
∴m=±2，…（8分）
①当m=2时，原方程可化为x²-9x+18=0，∴x=3或6；
由（2）知x＜6，∴只能取x=3，
∴CD=3，AO=6，
在Rt△AOB中，AO=6，OB=3，
∴AB=

62-33

=3

3

；…（9分）
②当m=-2时，原方程可化为x²+7x+18=0，
∵△=7²-4×1×18＜0，∴方程无解，…（10分）
综上，AB的长为3

3

．