Question

如图，已知矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F，FG∥DA与AB交于点G．
（1）求证：BF=BC；
（2）若AB=4cm，AD=3cm，求CF．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDB+∠DBC=90°．
∵CE⊥BD，
∴∠DBC+∠ECB=90°．
∴∠ECB=∠CDB．
又∵∠DCF=∠ECF，
∴∠CFB=∠CDB+∠DCF=∠ECB+∠ECF=∠BCF．
∴BF=BC；

（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得
BD===5．
又∵BD•CE=BC•DC，
∴CE=．
∴=．
∴EF=BF-BE=3-．
∴CF=．
分析：（1）要求证：BF=BC只要证明∠CFB=∠FCB就可以，从而转化为证明∠BCE=∠BDC就可以；
（2）已知AB=4cm，AD=3cm，就是已知BC=BF=3cm，CD=4cm，在直角△BCD中，根据三角形的面积等于BD•CE=BC•DC，就可以求出CE的长．
要求CF的长，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF=BF-BE，BE在直角△BCE中根据勾股定理，就可以求出．
点评：本题主要应用了等腰三角形的判定定理，等角对等边，以及勾股定理．