【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C(0,3).且点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为(3,0),点P是抛物线上第一象限内的一个点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)连PO、PB,如果把△POB沿OB翻转,所得四边形POP′B恰为菱形,那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△QAB与△POB相似?若存在求出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若(2)中点Q存在,指出△QAB与△POB是否位似?若位似,请直接写出其位似中心的坐标.
【答案】
(1)解:∵A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)在抛物线y=ax2+bx+c上,
∴ ,
解得 .
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3
(2)解:在抛物线的对称轴上存在点Q,使△QAB与△POB相似,如图所示.
∵四边形POP′B为菱形,
∴PO=PB,
∴∠POB=∠PBO.
∵点Q在抛物线的对称轴上,
∴QA=QB,
∴∠QAB=∠QBA.
由△QAB与△POB相似可得∠PBO=∠QBA,
∴点Q、P、B共线.
∵PO=PB,
∴点P在OB的垂直平分线上,
∴xP= ,
此时yP=﹣( )2+2× +3= ,
点P的坐标为( , ).
设直线PB的解析式为y=mx+n,
则有 ,
解得 .
∴直线PB的解析式为y=﹣ x+ .
∵抛物线的对称轴为x=﹣ =1,
∴xQ=1,yQ=﹣ ×1+ =5,
∴点Q的坐标为(1,5)
根据对称性点Q坐标还可以为(1.﹣5)
(3)解:△QAB与△POB位似,位似中心为点B,点B的坐标为(3,0).
【解析】(1)点A、B、C的坐标已知,只需运用待定系数法就可求出抛物线的解析式;(2)由四边形POP′B为菱形可得PO=PB,从而有∠POB=∠PBO.由点Q在抛物线的对称轴上可得QA=QB,从而有∠QAB=∠QBA.由△QAB与△POB相似可得∠PBO=∠QBA,从而可得点Q、P、B共线.由PO=PB可得点P在OB的垂直平分线上,从而可得xP= ,代入抛物线即可求出点P的坐标,设直线PB的解析式为y=mx+n,运用待定系数法就可求出直线PB的解析式.由抛物线的对称轴方程可得到点Q的横坐标,代入直线PB的解析式,即可得到点Q的坐标;(3)观察图象,易知△QAB与△POB位似,位似中心即为点B,由此可得到位似中心的坐标.
【考点精析】本题主要考查了确定一次函数的表达式和相似三角形的性质的相关知识点,需要掌握确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k不等于0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法;对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形才能正确解答此题.
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【题目】某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的沧州——我最喜爱的沧州小吃”调查活动,将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图:
调查问卷
在下面四种沧州小吃中,你最喜爱的是(____)(单选)
A.泊头老豆腐 B.羊肠子 C.连镇烧鸡 D.油酥烧饼
请根据所给信息解答以下问题:
(1)请补全条形统计图;
(2)若全校有2000名同学,请估计全校同学中最喜爱“泊头老豆腐”的同学有多少人?
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【题目】如图,壁虎在一座底面半径为 2 米,高为 5 米的油罐的下底边沿点 A处,它 发现在自己的正上方油罐上边缘的点 B处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害 虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击.结 果,壁虎偷袭成功,获得了一顿美餐.请问壁虎至少要爬行多少路程 才能捕到害虫?(π取 3)
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【题目】如图,在□ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F处,若△FDE的周长为8,△FCB的周长为22,则□ABCD的周长为________,FC的长为________.
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【题目】小颖和小红两位同学在学习“概率”时,做投掷骰子(质地均匀的正方体)试验,她们共做了60次试验,试验的结果如下:
朝上的点数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
出现的次数 | 7 | 9 | 6 | 8 | 20 | 10 |
(1)计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
(2)小颖说:“根据上述试验,一次试验中出现5点朝上的概率最大”;小红说:“如果投掷600次,那么出现6点朝上的次数正好是100次”.小颖和小红的说法正确吗?为什么?
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【题目】把下列各数分别填在相应的括号内.
-,0,0.16,3, ,-, ,,-,-3.14
有理数:{____________________________________________________};
无理数:{____________________________________________________};
负实数:{____________________________________________________}.
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【题目】如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点.
(1)在图1中以格点为顶点画一个面积为5的等腰直角三角形;
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形,使三角形三边长分别为2、、 ;
(3)如图3,点A、B、C是小正方形的顶点,求∠ABC的度数.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,大于 BF长为半径画弧,两弧交于一点P,连
接AP并延长交BC于点E,连接EF.
(1)四边形ABEF是;(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(直接填写结果)
(2)AE,BF相交于点O,若四边形ABEF的周长为40,BF=10,则AE的长为 , ∠ABC=°.(直接填写结果)
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【题目】如图,所有正三角形的一边平行于x轴,一顶点在y轴上,从内到外,它们的边长依次为2,4,6,8,…,顶点依次用A1、A2、A3、A4、…表示,其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位,则A2017的坐标是 .
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