Question

19．如图，△ABC内接于⊙O，⊙O的半径为5，sin∠B=$\frac{3}{5}$，点D在边AC上，在弧BC上取一点E．使得∠CDE=∠ABC．且AE=$\sqrt{3}$DE．则CD的长为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2.5

Answer 1

分析 连接CE，连接CO并延长交⊙O于B′，解直角三角形得到AC=6，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：连接CE，连接CO并延长交⊙O于B′，
∴∠B′AC=90°，B′C=10，
∵sin∠B=$\frac{AC}{CB′}$=$\frac{3}{5}$，
∴AC=6，
∵∠ABC=∠AEC，∠CDE=∠ABC，
∴∠AEC=∠EDC，
又∵∠ACE=∠ECD，
∴△ACE∽△ECD，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{AC}{CE}=\frac{CE}{CD}$，∵AE=$\sqrt{3}$DE，
∴$\frac{AC}{CE}$=$\frac{CE}{CD}$=$\sqrt{3}$，
∴CE=2$\sqrt{3}$，CD=2．
故选B．

点评 本题主要考查相似三角形的性质与判定及圆周角定理的运用，根据圆周角定理得出两角相等是证明三角形相似的前提，根据相似性质得到对应边成比例是关键．