Question

【题目】点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B之间的距离可表示为AB＝|a﹣b|．已知数轴上A，B两点分别表示有理数﹣1和x．

（1）若AB＝4时，则x的值为　 ；

（2）当x＝7时，点A，B分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度同时向数轴负方向运动．求经过多少秒后，点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍；

（3）如图，点A，B，C，D四点在数轴上分别表示的数为﹣4，﹣1，2，6．是否存在点P在数轴上，使得点P到这四点的距离总和的最小？若存在，请直接写点P的位置和距离总和的最小值．若不存在，请说明理由；

（4）某一直线沿街有2020户民，假定相邻两户居民间隔相同，分别记为a1，a2，a3，a4，a5，…，a2020．某餐饮公司想为这2020户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P．请问点P选在何处，才能使这2020户居民到点P的距离总和最小？试说明原因．

Answer 1

【答案】（1）3或﹣5；（2）经过秒或5秒后，点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍；（3）点P在B与C之间时，点P到这四点的距离总和的最小，其最小值为13；（4）点P选在a1020与a1011之间，才能使这2020户居民到点P的距离总和最小，理由见解析．

【解析】

（1）根据距离公式AB＝|a﹣b|，分点B在点A左、右两侧两种情况解答即可；
（2）设经过t秒后，点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，则A点表示的数为（﹣1﹣t），B点表示的数为（7﹣t），然后分点B在原点左右两边，列方程可求得结果；
（3）设P点表示的数为x，分别求出当x＜﹣4时，当﹣4≤x＜﹣1时，当﹣1≤x＜2时，当2≤x＜6时，当x≥6时，点P到这四点的距离总和，然后比较求出最小值即可；
（4）根据两点之间的距离，先分析有2户居民点P的位置，有3户居民点P的位置，有4户居民点P的位置，…，最后根据规律可得出有2020户居民点P的位置即可得到结论．

解：（1）∵AB＝4，数轴上A，B两点分别表示有理数﹣1和x，

∴当B点在A点右边时，x＝﹣1+4＝3，

当B点在A点左边时，x＝﹣1﹣4＝﹣5，

故答案为：3或﹣5；

（2）设经过t秒后，点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，则A点表示的数为（﹣1﹣t），B点表示的数为（7﹣t），

①当B点在原点右边时，有OA＝|﹣1﹣t|＝t+1，OB＝|7﹣2t|＝7﹣2t，则

t+1＝2（7﹣2t），

解得，t＝，

②当B点在原点左边时，有OA＝|﹣1﹣t|＝t+1，OB＝|7﹣2t|＝2t﹣7，则

t+1＝2（2t﹣7），

解得，t＝5，

综上，t＝或5．

答：经过秒或5秒后，点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍；

（3）设P点表示的数为x，则

当x＜﹣4时，距离之和为﹣4﹣x﹣1﹣x+2﹣x+6﹣x＝3﹣4x＞19，

当﹣4≤x＜﹣1时，距离为x+4﹣1﹣x+2﹣x+6﹣x＝11﹣2x＞13，

当﹣1≤x＜2时，距离为x+4+x+1+2﹣x+6﹣x＝13，

当2≤x＜6时，时，距离为x+4+x+1+x﹣2+6﹣x＝9+2x≥13，

当x≥6时，时，距离为x+4+x+1+x﹣2+x﹣6＝4x﹣3≥19，

∴当﹣1≤x≤2时，点P到这四点的距离总和的最小，其最小值为13，

即点P在B与C之间时，点P到这四点的距离总和的最小，其最小值为13；

（4）点P选在a1020与a1011之间，才能使这2020户居民到点P的距离总和最小．

理由：若只有a1、a2居民户，P建在a1与a2之间任何一点位置时，2户居民到点P的距离和都为a1与a2间的距离，比建在a1与a2之外小；

若有a1，a2，a3三居民户，P建在a3处时，3户居民到点P的距离和最小，

若有a1，a2，a3，a4四居民户，P建在a2与a3之间任何一点位置时，4户居民到点P的距离和最小，

∴若有a1，a2，a3，a4，a5，…，a20202020户，P建在a1010与a1011之间任何一点位置时，才能使这2020户居民到点P的距离总和最小．