分析 (1)①根据题意画出图形即可;
②连接CH,先根据正方形的性质得出△DHQ是等腰直角三角形,再由SAS定理得出△HDP≌△HQC,故PH=CH,∠HPC=∠HCP,由正方形的性质即可得出结论;
(2)根据四边形ABCD是正方形,QH⊥BD可知△DHQ是等腰直角三角形,再由平移的性质得出PD=CQ.作HR⊥PC于点R,由∠AHQ=152°,可得出∠AHB及∠DAH的度数,设DP=x,则DR=HR=RQ,由锐角三角函数的定义即可得出结论.
解答 解:(1)①如图1;
②解法一:如图1,连接CH,
∵四边形ABCD是正方形,QH⊥BD,
∴∠HDQ=45°,
∴△DHQ是等腰直角三角形.
∵DP=CQ,
在△HDP与△HQC中.
∵$\left\{\begin{array}{l}DH=QH\\∠HDP=∠HQC\\ DP=QC\end{array}\right.$,
∴△HDP≌△HQC(SAS),
∴PH=CH,∠HPC=∠HCP.
∵BD是正方形ABCD的对称轴,
∴AH=CH,∠DAH=∠HCP,
∴∠AHP=180°-∠ADP=90°,
∴AH=PH,AH⊥PH.
解法二:如图1,连接CH,
∵QH⊥BD,
∴∠QHB=∠BCQ=90°,
∴B、H、C、Q四点共圆,
∴∠DHC=∠BQC,
由正方形的性质可知∠DHC=∠AHD,
由平移性质可知∠BQC=∠APD,
∴∠AHD=∠APD,
∴A、H、P、D四点共圆,
∴∠PAH=∠PDH=45°,∠AHP=∠ADP=90°,
∴△HAP是等腰直角三角形,
∴AH=PH,AH⊥PH.
(2)解法一:如图2,
∵四边形ABCD是正方形,QH⊥BD,
∴∠HDQ=45°,
∴△DHQ是等腰直角三角形.
∵△BCQ由△ADP平移而成,
∴PD=CQ.
作HR⊥PC于点R,
∵∠AHQ=152°,
∴∠AHB=62°,
∴∠DAH=17°.
设DP=x,则DR=HR=RQ=$\frac{1-x}{2}$.
∵tan17°=$\frac{HR}{CR}$,即tan17°=$\frac{\frac{1-x}{2}}{\frac{1+x}{2}}$,
∴x=$\frac{1-tan17°}{1+tan17°}$.
解法二:
由(1)②可知∠AHP=90°,
∴∠AHP=∠ADP=90°,
∴A、H、D、P四点共圆,
又∠AHQ=152°,∠BHQ=90°,
∴∠AHB=152°-90°=62°,
由圆的性质可知∠APD=∠AHB=62°,
在Rt△APD中,∠PAD=90°-62°=28°,
∴PD=AD•tan28°=tan28°.
点评 本题考查的是四边形综合题,涉及到正方形的性质、图形平移的性质、全等三角形的判定与性质等知识,难度适中.
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A. | 明天太阳从西方升起 | |
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D. | 任意-个三角形,它的内角和等于180° |
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