Question

18．在△ABC中，内角A，B，C的所对的边分别是a，b，c，已知cosC=$\frac{1}{4}$，a²=b²+$\frac{1}{2}{c}^{2}$
（1）求sin（A-B）的值；
（2）若c=$\sqrt{10}$，求a和b．

Answer 1

分析 （1）由已知式子和余弦定理得b=$\frac{2a}{3}$、c=$\frac{\sqrt{10}a}{3}$，由余弦定理可得cosA和cosB，再由同名三角函数基本关系可得sinA、sinB，由和差角的三角函数可得sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB，代入计算可得；
（2）由c=$\frac{\sqrt{10}a}{3}$=$\sqrt{10}$可得a的值，再代入b=$\frac{2a}{3}$可得b的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，cosC=$\frac{1}{4}$，a²=b²+$\frac{1}{2}{c}^{2}$，
∴c²=2a²-2b²，由余弦定理可得c²=a²+b²-$\frac{1}{2}$ab，
∴2a²-2b²=a²+b²-$\frac{1}{2}$ab，整理可得2a²+ab-6b²=0，
因式分解可得：（a+2b）（2a-3b）=0，
解得：b=$\frac{2a}{3}$，
代入c²=2a²-2b²得，c=$\frac{\sqrt{10}a}{3}$，
由余弦定理可得cosA=$\frac{（\frac{2a}{3}）^{2}+（\frac{\sqrt{10}a}{3}）^{2}-{a}^{2}}{2•\frac{2a}{3}•\frac{\sqrt{10}a}{3}}$=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$，
同理可得cosB=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，sinB=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB
=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$×$\frac{\sqrt{10}}{4}$-$\frac{\sqrt{10}}{8}$×$\frac{\sqrt{6}}{4}$
=$\frac{\sqrt{15}}{8}$；

（2）由c=$\frac{\sqrt{10}a}{3}$=$\sqrt{10}$可得a=3，
代入b=$\frac{2a}{3}$，得：b=2．

点评 本题主要考查余弦定理及同名三角函数基本关系、和差角的三角函数，熟练掌握余弦定理和三角函数的相关公式是解题的关键．