Question

在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，AC=6．过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q．求证：BP=DQ．
（2）求△BDE的周长．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的对边平行可得AD∥BC，对角线互相平分可得OB=OD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠DOA，然后利用“角边角”证明△OBP和△ODQ全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）根据菱形点的对角线互相平分求出OA，再利用勾股定理求出OB，从而得到BD的长，然后求出四边形ACED是平行四边形，根据平行四边形的对边相等求出CE=AD，DE=AC，再根据三角形的周长列式计算即可得解．

解答：（1）证明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OB=OD，
∴∠OBC=∠DOA，
∵在△OBP和△ODQ中，

∠OBC=∠DOA OB=OD ∠BOP=∠DOQ

，
∴△OBP≌△ODQ（ASA），
∴BP=DQ；

（2）解：在菱形ABCD中，∵AB=5，AC=6，
∴OA=

1

2

AC=

1

2

6=3，
根据勾股定理，OB=

AB2-OA2

=

52-32

=4，
∴BD=2OB=2×4=8，
又∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC=6，CE=AD=5，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=8+5+5+5=23．

点评：本题考查了菱形的性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，菱形的对边相等，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟记各性质是解题的关键．