Question

如图，MN为半圆O的直径，半径0A⊥MN，D为OA的中点，过点D作BC∥MN．求证：
（1）四边形ABOC为菱形；
（2）∠MNB=

1

8

∠BAC．

Answer 1

考点：圆周角定理,菱形的判定,垂径定理

专题：证明题

分析：（1）根据垂径定理可以证得BD=CD，则根据对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形即可判定；
（2）易证△ABO是等边三角形，OA⊥MN，根据圆周角定理即可求得∠BAC和∠MNB的度数，从而求证．

解答：证明：（1）∵半径0A⊥MN，
∴BD=CD，
又∵AD=OD，AD⊥BC，
∴四边形ABOC为菱形；
（2）∵OA⊥BC，BC∥MN，
∴OA⊥MN，
∵四边形ABOC为菱形，
∴AB=OC，
∴AB=OA=OB，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠BAO=∠AOB=60°，
同理∠COA=60°，则∠BAC=120°，
∵OA⊥MN，
∴∠BOM=90°-60°=30°，
∴∠MNB=

1

2

∠BOM=15°，
∴∠MNB=

1

8

∠BAC．

点评：本题考查了圆周角定理、菱形的判定与性质定理和垂径定理，正确证明△ABO是等边三角形是关键．