Question

17．如图，矩形OABC的边OA在x轴上，双曲线y=$\frac{k}{x}$与BC交于点D，与AB交于点E，DE=$\frac{1}{2}$OB，矩形OABC的面积为4，则k的值为2．

Answer 1

分析 设点A的横坐标为a，根据矩形的面积表示出OC，再根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出AE、CD，然后求出BD、BE，再利用勾股定理列式求出OB²、DE²，然后根据OB=2DE列出关于a、k的方程，求解得到k的值再根据矩形的面积判断出k的取值范围，从而得解．

解答 解：设点A的横坐标为a，则OA=a，
∵矩形OABC的面积为4，
∴OC=$\frac{4}{a}$，
∴AE=$\frac{k}{a}$，
∵点D在BC上，
∴$\frac{k}{x}$=$\frac{4}{a}$，
解得：x=$\frac{ka}{4}$，
∴CD=$\frac{ka}{4}$，
∴BD=BC-CD=a-$\frac{ka}{4}$，
BE=AB-AE=$\frac{4}{a}$-$\frac{k}{a}$，
由勾股定理得，OB²=OA²+AB²=a²+（$\frac{4}{a}$）²=$\frac{1}{{a}^{2}}$（a⁴+16），
DE²=BD²+BE²=（a-$\frac{ka}{4}$）²+（$\frac{4}{a}$-$\frac{k}{a}$）²=$\frac{{a}^{2}}{16}$（4-k）²+$\frac{1}{{a}^{2}}$（4-k）²=$\frac{1}{16}$（4-k）²•$\frac{1}{{a}^{2}}$（a⁴+16），
∵OB=2DE，
∴OB²=4DE²，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$（a⁴+16）=4×$\frac{1}{16}$（4-k）²•$\frac{1}{{a}^{2}}$（a⁴+16），
∴（4-k）²=4，
解得k₁=2，k₂=6，
∵矩形OABC的面积为4，点B在双曲线上方，
∴k＜4，
∴k的值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，利用勾股定理列式表示出OB²、MN²，然后得到关于k飞方程是解题的关键．