分析 设点A的横坐标为a,根据矩形的面积表示出OC,再根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出AE、CD,然后求出BD、BE,再利用勾股定理列式求出OB2、DE2,然后根据OB=2DE列出关于a、k的方程,求解得到k的值再根据矩形的面积判断出k的取值范围,从而得解.
解答 解:设点A的横坐标为a,则OA=a,
∵矩形OABC的面积为4,
∴OC=$\frac{4}{a}$,
∴AE=$\frac{k}{a}$,
∵点D在BC上,
∴$\frac{k}{x}$=$\frac{4}{a}$,
解得:x=$\frac{ka}{4}$,
∴CD=$\frac{ka}{4}$,
∴BD=BC-CD=a-$\frac{ka}{4}$,
BE=AB-AE=$\frac{4}{a}$-$\frac{k}{a}$,
由勾股定理得,OB2=OA2+AB2=a2+($\frac{4}{a}$)2=$\frac{1}{{a}^{2}}$(a4+16),
DE2=BD2+BE2=(a-$\frac{ka}{4}$)2+($\frac{4}{a}$-$\frac{k}{a}$)2=$\frac{{a}^{2}}{16}$(4-k)2+$\frac{1}{{a}^{2}}$(4-k)2=$\frac{1}{16}$(4-k)2•$\frac{1}{{a}^{2}}$(a4+16),
∵OB=2DE,
∴OB2=4DE2,
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$(a4+16)=4×$\frac{1}{16}$(4-k)2•$\frac{1}{{a}^{2}}$(a4+16),
∴(4-k)2=4,
解得k1=2,k2=6,
∵矩形OABC的面积为4,点B在双曲线上方,
∴k<4,
∴k的值为2.
故答案为:2.
点评 本题考查了矩形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征,反比例函数系数k的几何意义,利用勾股定理列式表示出OB2、MN2,然后得到关于k飞方程是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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