Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，tanA= ，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H，给出如下几个结论：（1）△AED≌△DFB；（2）CG与BD一定不垂直；（3）∠BGE的大小为定值；（4）S四边形BCDG= CG2；其中正确结论的序号为 ．

Answer 1

【答案】（1）（3）（4）
【解析】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE=DF，AD=BD，
在△AED和△DFB中，
，
∴△AED≌△DFB，故本小题正确；
（2）当点E，F分别是AB，AD中点时（如图1），

由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，
∵点E，F分别是AB，AD中点，
∴∠BDE=∠DBG=30°，
∴DG=BG，
在△GDC与△BGC中，
，
∴△GDC≌△BGC，
∴∠DCG=∠BCG，
∴CH⊥BD，即CG⊥BD，故本选项错误；（3）∵△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∴∠BGE=∠BDG+∠DBG=∠BDG+∠ADE=60°，故本选项正确．（4）∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，
即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．
∴∠BGC=∠DGC=60°．
过点C作CM⊥GB
于M，CN⊥GD于N．（如图2）

则△CBM≌△CDN，（AAS）
∴S四边形BCDG=S四边形CMGN ，
S四边形CMGN=2S△CMG ，
∵∠CGM=60°，
∴GM= CG，CM= CG，
∴S四边形CMGN=2S△CMG=2× × CG× CG= CG2 ， 故本小题正确．
综上所述，正确的结论有（1）（3）（4）．
所以答案是：（（1）（3）（4）．
【考点精析】掌握菱形的性质和圆内接四边形的性质是解答本题的根本，需要知道菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半；把圆分成n(n≥3):1、依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2、经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．