Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的角平分线AD交BC于点D，过点D作DE⊥AD，交AB于点E．以AE为直径作⊙O．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AE=6，AC=，求△ADB的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OD，如图．
∵AE为⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴D点在⊙O上．
∴OD=OA，
∴∠ADO=∠DAO．
又∵∠CAB的角平分线AD交BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，而∠C=90°．
∴∠ODC=90°．
所以BC是⊙O的切线；

（2）解：由已知和（1）得：OD=OE=AE=3，
又AC∥OD（已证），
∴△ABC∽△OBD，
设BE=x，
则有=，即=，
得：x=2，即BE=2，
∴OB=BE+OE=2+3=5，
在直角三角形OBD中，由勾股定理得：
BD===4，
所以△ADB的面积为BD•AC=×4×=．
分析：（1）如图，连接OD，分别利用角平分线的性质和等腰三角形的性质可以得到∠CAD=∠ODA，然后利用平行线的判定证明OD∥AC，由此即可证明题目的结论；
（2）由（1）可得△ABC∽△OBD，设BE=x，则有=，可求出BE、OB，根据勾股定理可求出BD，那么得△ADB的面积=BD•AC．
点评：此题考查的知识点是切线的判定与性质、角平分线的性质、圆周角定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是（1）利用角平分线的性质和等腰三角形的性质可以得到∠CAD=∠ODA；（2）通过证明三角形相似和运用勾股定理求解．