Question

6．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与过两点A（0，-2），B（-1，0）的一次函数的图象在第二象限内相交于点M（m，4）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）在双曲线（x＜0）上是否存在点N，使MN⊥MB，若存在，请求出N点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的表达式，由点M的纵坐标利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点M的坐标，根据点M的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数表达式；
（2）假设存在，过点M作MC⊥x轴于C，过点N作ND⊥MC于D，则△MDN∽△BCM，设N（n，-$\frac{12}{n}$），根据相似三角形的性质即可得出关于n的分式方程，解之并检验后即可得出点N的坐标，此题得解．

解答 解：（1）设直线AB的表达式为y=ax+b（a≠0），
将点A（0，-2）、B（-1，0）代入y=ax+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{-a+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的表达式为y=-2x-2．
当y=-2x-2=4时，x=-3，
∴点M的坐标为（-3，4），
将点M（-3，4）代入y=$\frac{k}{x}$，
4=$\frac{k}{-3}$，解得：k=-12，
∴反比例函数的表达式为y=-$\frac{12}{x}$．

（2）假设存在，过点M作MC⊥x轴于C，过点N作ND⊥MC于D，如图所示．
∵∠MND+∠NMD=90°，∠BMC+∠NMD=90°，
∴∠MND=∠BMC，
又∵∠MDN=∠BCM=90°，
∴△MDN∽△BCM，
∴$\frac{MD}{BC}$=$\frac{ND}{MC}$．
设N（n，-$\frac{12}{n}$），则有$\frac{4+\frac{12}{n}}{2}$=$\frac{-3-n}{4}$，
解得：n=-8或n=-3（不合题意，舍去），
经检验，n=-8是原分式方程的解，
∴点N的坐标为（-8，$\frac{3}{2}$），
∴在双曲线（x＜0）上存在点N（-8，$\frac{3}{2}$），使MN⊥MB．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次（反比例）函数解析式、相似三角形的判定与性质以及解分式方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数表达式；（2）根据相似三角形的性质找出关于n的分式方程．