Question

3．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长满足（x-$\frac{7}{2}$）²=$\frac{1}{4}$中的x．其中OA＞OB．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线BC的解析式；
（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）先用直接开平方法求出x的值，进而得出OA，OB，在判断出△ADE≌△BAO即可得出结论；
（2）同（1）的方法求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC 解析式；
（3）先判断出要使△PCD是等腰三角形，只有PC=CD，利用中点坐标公式即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，∵（x-$\frac{7}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
∴x=3或x=4，
∵OA、OB的长满足（x-$\frac{7}{2}$）²=$\frac{1}{4}$中的x．其中OA＞OB．
∴OA=4，OB=3，
∴A（0，4），B（3，0），
过点D作DE⊥OA于E，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠DAE+∠OAB=90°，
∴∠ADE=∠OAB，
在△ADE和△BAO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠BOA=90°}\\{∠ADE=∠OAB}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BAO，
∴DE=AO=4，AE=BO=3，
∴OE=OA+AE=7，
∴D（4，7）；

（2）如图2，
过点C作CF⊥OB于F，
同（1）的方法得，△BCF≌△ABO（AAS），
∴CF=BO=3，BF=OA=4，
∴OF=OB+BF=7，
∴C（7，3），
∵B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{7k+b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$
∴直线BC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{4}$；

（3）设点P（m，$\frac{3}{4}$m-$\frac{9}{4}$），
∵C（7，3），D（4，7），
∴CD=5
∵△PCD为等腰三角形，且∠BCD=90°，
∴只有PC=CD=5，
当点P在点C左侧时，
∵BC=CD=5，
∴点P和点B重合，
∴P（3，0），
当点P在点C右侧时，如图3，
∵PC=5，BC=5，
∴点C是点P的中点，
∴P（11，6）．
即：满足条件的点P（3，0）和（11，6）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是作出辅助线求出点C，D坐标．