Question

【题目】如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于x的一元二次方程的一个根，其中正确的有_________个

Answer 1

【答案】2

【解析】

根据二次函数的图象和性质逐一判断即可．

解：①根据抛物线的开口方向向下知，a<0；

因抛物线的对称轴为直线x=1，即=1，故b=-2a>0；

当x=0时，y=c，则点C的坐标为（0，c），因c(0，c)在y轴正半轴上，故c>0；

所以abc<0

故结论①正确；

②∵b=-2a

∴

故结论②错误；

③∵c(0,c)，c>0

∴OC=c

∴OA=OC=c

∴A(-c,0)

因点A在抛物线上，故有

整理得：

∵c>0

∴ac-b+1=0

∴ac-b+1+2b=2b

∴ac+b+1=2b>0

故结论③错误；

④∵A（-c,0），抛物线的对称轴为直线x=1，

∴A点到抛物线对称轴的距离为1+c，

∵A、B两点关于对称轴对称，

∴A点到对称轴的距离与B点到对称轴的距离相等，

∴A、B两点的距离为2（1+c）=2+2c，

∴AB=2+2c，

∴OB=AB-OA=2+2c-c=2+c，

即点B的坐标为（2+c,0），

故2+c是关于x的一元二次方程的一个根．

故结论④正确．

故答案为：2．