Question

已知：如图，正比例函数y=k₁x的图象与反比例函数y=

k2

x

的图象相交于点A、B，点A 在第一象限，且点A 的横坐标为1，作AH垂直于x轴，垂足为点H，S_△AOH=1．
（1）求AH的长；
（2）求这两个函数的解析式；
（3）如果△OAC是以OA为腰的等腰三角形，且点C在x轴上，求点C的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据点A的横坐标可得出OH的长度，从而结合△AOH的面积可得出AH的长度；
（2）根据AH的长度，可得出点A的坐标，将点A的坐标代入正比例函数及反比例函数解析式，可得出两个函数的解析式；
（3）分两种情况讨论，①OA=OC，②OA=AC，分别求出点C的坐标即可．

解答：解：（1）∵点A的横坐标为1，AH⊥x轴，
∴OH=1，
∵S_△AOH=1，
∴

1

2

OH×AH=1，
解得：AH=2．

（2）∵OH=1，AH=2，
∴点A的坐标为A（1，2），
∵点A（1，2）在正比例函数y=k₁x的图象上，
∴2=k₁•1，
解得：k₁=2．
∴所求的正比例函数的解析式为y=2x，
∵点A（1，2）在反比例函数y=

k2

x

的图象上，
∴2=

k2

1

，
解得k₂=2．
∴所求的反比例函数的解析式为y=

2

x

．

（3）由题意，设点C的坐标为（a，0）．
∵△OAC是以OA为腰的等腰三角形，
∴OA=OC或OA=AC，
①当OA=OC时，a=±

5

，
即可得：点C的坐标为（

5

，0）或（-

5

，0）．
②当OA=AC时，a=2；a=0，
∵点C与点O不重合，
∴a=0不合题意舍去，
∴点C的坐标为（2，0），
综上所述：点C的坐标为（

5

，0）或（-

5

，0）或（2，0）．

点评：本题属于反比例函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式等腰三角形的性质，综合性较强，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．