Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，D为BC边的中点，连接DP．
（1）DP是⊙O的切线；
（2）若cosA=

3

5

，⊙O的半径为5，求DP的长．

Answer 1

分析：（1）连接OP和BP，可证出∠BPD=∠PBD，再由OB=OP得出∠OPB=∠OBP，从而得出∠OPD=90°，从而证出DP是⊙O的切线；
（2）连接OD，在Rt△ABC中，可求得AC，再根据三角形的中位线定理得出OD的长，则求出DP的长．

解答：解：（1）证明：连接OP和BP，
∵AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，
∴∠APB=90°，AB⊥BC，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°
在Rt△BPC中，D为BC边的中点
∴BD=PD
∴∠BPD=∠PBD
∵OB=OP
∴∠OPB=∠OBP
∴∠OPD=∠OPB+∠BPD=∠OBP+∠PBD=∠ABC=90°
即PD⊥OP
∴DP是⊙O的切线

（2）连接OD
在Rt△ABC中
∵cosA=

3

5

，⊙O的半径为5
∴AC=

AB

cosA

=

50

3

∵OA=OB，DC=DB
∴OD=

1

2

AC=

25

3

，
在Rt△OPD中，PD=

OD2-OP2

=

( 25 3 )2-52

=

20

3

．

点评：本题是一道综合题，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和解直角三角形，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解此题的关键．