Question

已知抛物线y=-x²+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（　　）

• A、始终不相似
• B、始终相似
• C、只有AB=AD时相似
• D、无法确定

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：先求出点P的坐标，从而得到OP的长，再设点A的横坐标为m，表示出AD，再表示出OD、OF、PF、AF，然后根据△PEF和△PDO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出EF，然后利用勾股定理表示出PA²、PE、PD，从而得到

PA

PD

=

PE

PA

，再根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似解答．

解答：解：令x=0，则y=1，
∴OP=1，
设点A的横坐标为m，
则AD=-m²+1，
∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，
∴AF=OD=m，OF=-m²+1，PF=1-（-m²+1）=m²，
在Rt△PAF中，PA²=PF²+AF²=（m²）²+m²=m⁴+m²，
在Rt△POD中，PD=

OP2+OD2

=

12+m2

=

1+m2

，
由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO，
∴

PF

OP

=

PE

PD

，
即

m2

1

=

PE

1+m2

，
解得，PE=m²

1+m2

，
∴PA²=PD•PE=m⁴+m²，
∴

PA

PD

=

PE

PA

，
∵∠APE=∠DPA，
∴△PAD∽△PEA，
即，△PAD与△PEA始终相似．
故选B．

点评：本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，表示出两个三角形的公共角的夹边成比例是解题的关键．