Question

已知二次函数y=x²+bx+c的图象向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到二次函数y=x²-8x+10．
（1）求b、c的值；
（2）若第（1）小题中的函数与x轴的交点为A、B，试在x轴的下方的图象上确定一点P，使得△PAB的面积最大，你能求出△PAB的面积吗？

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换,抛物线与x轴的交点

专题：计算题

分析：（1）先把y=x²-8x+10配方得到y=（x-4）²-6，根据题意反向平移，即把抛物线y=（x-4）²-6向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，则平移后的抛物线的解析式为y=（x-6）²-9=x²-12x+27，于是可得到b=-12，c=27；
（2）令y=0，解方程x²-12x+27=0得到抛物线与x轴两交点坐标，则AB=6，由于点P为抛物线的顶点时，△PAB的面积最大，则P点坐标为（6，-9），然后根据三角形面积公式求解．

解答：解：（1）y=x²-8x+10=（x-4）²-6，
把抛物线y=（x-4）²-6向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度得到抛物线的解析式为y=（x-6）²-9=x²-12x+27，
所以b=-12，c=27；
（2）解方程x²-12x+27=0得x₁=3，x₂=9，
所以AB=9-3=6，
点P为抛物线的顶点时，△PAB的面积最大，即P点坐标为（6，-9），
所以△PAB的面积=

1

2

×6×9=27．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．