Question

已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O半径为R，AD是△ABC的高，E是

BC

 的中点，EF与⊙O切于E，交AC的延长线于F，则下列结论：
①AC•AB=2R•AD；  ②EF∥BC； ③CF•AC=EF•CM； ④

CM

BM

=

sinB

sinF

．
其中正确的结论是（　　）

• A、①②③
• B、①③④
• C、②③④
• D、①②③④

Answer 1

分析：①连接AO并延长交⊙O于G点，连接CG，则∠GCA=∠ADB=90°，∠G=∠B，证明△ACG∽△ADB，利用相似比证明结论；
②连接OE，由EF为⊙O的切线可知OE⊥EF，由E是

BC

 的中点可知OE⊥BC，故结论成立；
③连接CE，证明△ACM∽△EFC，利用相似比证明结论；
④过M点分别作MP⊥AC，MQ⊥AB，由E是

BC

 的中点可知AE平分∠BAC，由角平分线的性质得MP=MQ，而∠F=∠PCM，在Rt△PCM和Rt△BDQ中，分别表示sin∠B，sin∠PCM，再求比．

解答：解：①如图1，连接AO并延长交⊙O于G点，连接CG，
∵AG为直径，∴∠GCA=∠ADB=90°，又∠G=∠B，
∴△ACG∽△ADB，∴

AC

AD

=

AG

AB

，AG=2R，∴AC•AB=2R•AD，①正确；
②如图1，连接OE，
∵EF为⊙O的切线，E为切点，∴OE⊥EF，
又∵E是

BC

 的中点，∴OE⊥BC，
∴EF∥BC，②正确；
③如图2，连接CE，
∵EF∥BC，∴∠ACM=∠F，
由弦切角定理可知∠CAE=∠FEC，∴△ACM∽△EFC，
∴

AC

EF

=

CM

CF

，即CF•AC=EF•CM，③正确；
④如图2，过M点分别作MP⊥AC，MQ⊥AB，垂足为P，Q，
∵E是

BC

 的中点，∴AE平分∠BAC，∴MP=MQ，
又∠F=∠PCM，∴在Rt△PCM中，sin∠PCM=sinF=

PM

CM

，
在Rt△BMQ中，sinB=

MQ

MB

，
∴

sinB

sinF

=

CM

BM

，④正确．
故选D．

点评：本题考查了切线的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，锐角三角函数的定义．关键是通过作辅助线，将问题转化到直角三角形中求解．