Question

2．一次函数y=x-1的图象与y轴交于A点，与y=-2x+5的图象交于B点
（1）求点A、点B的坐标；
（2）求这两个函数图象与x轴围成的图形的面积；
（3）设P是y轴上一个动点，当△ABP是直角三角形时，直接写出P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由一次函数y=x-1可求得A点坐标，联立两函数解析式可求得B点坐标；
（2）可先求得两直线与x轴的交点，则可求得与x轴围成的图形的面积；
（3）由A、B两点的坐标可知当△ABP为直角三角形时，有∠APB=90°或∠ABP=90°，可设P点坐标为（0，y），则可表示出PA、PB的长，结合勾股定理可得到关于y的方程，可求得y的值，则可求得点P的坐标．

解答 解：
（1）在y=x-1中，令x=0，可得y=-1，
∴A（0，-1），
联立两函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-2x+5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴B（2，1）；
（2）设直线y=x-1与x轴交于点C，直线y=-2x+5与x轴交于点D，
在直线y=x-1中，令y=0可得x-1=0，解得x=1，在y=-2x+5中，令y=0可得-2x+5=0，解得x=$\frac{5}{2}$，
∴C（1，0），D（$\frac{5}{2}$，0），
∴CD=$\frac{5}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×1=$\frac{3}{4}$，
即两个函数图象与x轴围成的图形的面积为$\frac{3}{4}$；
（3）设P点坐标为（0，y），
∵A（0，-1），B（2，1），
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+（1+1）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，AP=|y+1|，BP=$\sqrt{{2}^{2}+（1-y）^{2}}$=$\sqrt{{y}^{2}-2y+5}$，
由题意可知当△ABP为直角三角形时，有∠APB=90°或∠ABP=90°，
①当∠APB=90°时，则有AP²+BP²=AB²，即（y+1）²+（y²-2y+5）=8，
解得y=-1（与A点重合，舍去）或y=1，此时P点坐标为（0，1）；
②当∠ABP=90°时，则有AB²+BP²=AP²，即8+（y²-2y+5）=（y+1）²，
解得y=3，此时P点坐标为（0，3）；
综上可知当△ABP是直角三角形时，点P坐标为（0，1）或（0，3）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、三角形的面积、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意函数图象交点的求法，在（2）中求得两直线与x轴的交点坐标是解题的关键，在（3）中用P点的坐标表示出AP、BP的长是解题的关键．本题考查知识较多，综合性较强，难度适中．