Question

5．在直角坐标系中，矩形OABD的边OA、OC在坐标轴上，B点坐标是（2，1），M、N分别是边OA、OC上的点．将△OMN沿着直线MN翻折，若点O的对应点是O′．
（1）①若N与C重合，M是OA的中点，则O′的坐标是（1，1）；
②MN∥AC，若翻折后O′在AC上，求MN的解析式．
（2）已知M坐标是（1.5，0），若△MNO′的外接圆与线段BC有公共点，求N的纵坐标n的取值范围．
（3）若O′落在△OAC内部，过O′作平行于x轴的直线交CO于点E，交AC于点F，若O′是EF的中点，求O′横坐标x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①首先根据条件找出O′的位置，画出图形，发现四边形ONO′M为正方形，得出O′的坐标为（1，1）；
②因为翻折后O′在AC上，由对称性得：OD=O′D，则$\frac{OD}{OO′}$=$\frac{1}{2}$，由MN∥AC得相似，得比例式，求出OM和ON的长，写出M和N的坐标，最后求MN的解析式；
（2）先从一个公共点入手，即相切时，求出N的纵坐标n，这就是n的最小值，最大值为1，写出取值；
（3）分两种情况计算：一种是N与C重合时x最大，利用等腰直角三角形的性质求出对应的x的值；另一种是当M与A重合时，x最小，利用勾股定理列方程求出x的值，最后写出x的取值范围．

解答 解：（1）①如图1，∵在直角坐标系中，矩形OABD的边OA、OC在坐标轴上，B点坐标是（2，1）
∴OC=1，OA=2，
∵若N与C重合，M是OA的中点，
∴ON=OM=1，
由折叠的性质得：四边形ONO′M为正方形，
∴O′的坐标为（1，1）；
②连接OO′交NM于点D，如图2所示：
∵MN∥AC，
∴△OMN∽△OAC，
∴$\frac{OM}{OA}$=$\frac{ON}{OC}$=$\frac{OD}{OO′}$，
∵O、O′关于MN对称，
∴$\frac{OD}{OO′}$=$\frac{1}{2}$，
∴ON=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$，OM=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴M（1，0），N（0，$\frac{1}{2}$），
∴MN的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$；
（2）当⊙G与BC相切时，如图3所示：
设半径为r，则FG=1-r，MG=r，
∵M坐标是（1.5，0），
∴OM=1.5，MF=$\frac{1}{2}$OM=$\frac{3}{4}$，
∴（1-r）²+（$\frac{3}{4}$）²=r²，
解得：r=$\frac{25}{32}$，
∴GF=1-$\frac{25}{32}$=$\frac{7}{32}$，
∵ON=2FG=2×$\frac{7}{32}$，
∴ON=$\frac{7}{16}$，
则N的纵坐标n的范围为$\frac{7}{16}$≤n≤1；
（3）连接CO′交OA于K，当O′是EF中点时，K是AO中点，
则OK=OC=1，构建直角△OO′L，
①当N与C重合时n最大，由重叠得：CO′=OC=1，则O′K=$\sqrt{2}$-1，
sin45°=$\frac{O′L}{O′K}$，则O′L=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{2}$-1）
得O′L=LK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{2}$-1）=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴OL=1-（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴O′横坐标x的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②当M与A重合时，x最小，如图5所示，
则CK的解析式为：y=-x+1，
设O′（x，-x+1），过O′作CO′⊥x轴，
则O′Q=-x+1，AQ=2-x，
Rt△QO′A中，（-x+1）²+（2-x）²=2²
x₁=$\frac{3+\sqrt{7}}{2}$（舍），x₂=$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$
∴$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$≤x≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题是四边形的综合题，将函数知识与方程、矩形有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用矩形的有关性质、定理和平面直角坐标系的有关知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件；同时此题也考查了图形变换中翻折的问题，明确翻折前后的两个图形全等，与直角坐标系相结合，找出等量关系式；另外此题的另一个关键是正确画出图形．