Question

【题目】在∠A（0°＜∠A＜90°）的内部画线段，并使线段的两端点分别落在角的两边AB、AC上，如图所示，从点A1开始，依次向右画线段，使线段与线段在两端点处互相垂直，A1A2为第1条线段.设AA1=A1A2=A2A3=1，则∠A =_____；若记线段A2n-1A2n的长度为an（n为正整数），如A1A2=a1,A3A4=a2，则此时a2=_______，an=________（用含n的式子表示）.

Answer 1

【答案】

【解析】∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，

∴△A1A2A3为等腰直角三角形，

∴∠A2A1A3=45°，

又AA1=A1A2，

∴∠A=∠AA2A1，

又∠A2A1A3为△AA2A1的外角，

∴∠A=∠AA2A1=12∠A2A1A3=22.5°；

∵AA1=A1A2=A2A3=1，

∴A1A2=a1=1；

在Rt△A1A2A3中，根据勾股定理得：A1A3=，

∴AA3=A3A4=a2=AA1+A1A3=1+；

同理AA5=A5A6=a3=AA3+A3A5=1++（1+）=3+2=（1+）2；

以此类推，an=（1+）n-1．

故答案为：22.5°；1+；（1+）n-1．