Question

一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是平行的，且水平，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，请你作出该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度．

Answer 1

分析：（1）以圆心为轨迹找路线，一一画出．
（2）根据此轨迹求线段，求弧长最后相加．

解答：解：如下图，画出圆盘滚动过程中圆心移动路线的分解图象．
可以得出圆盘滚动过程中圆心走过的路线由线段OO₁，线段O₁O₂，圆弧

O2O3

₃，线段O₃O₄四部分构成．
其中O₁E⊥AB，O₁F⊥BC，O₂C⊥BC，O₃C⊥CD，O₄D⊥CD．
∵BC与AB延长线的夹角为60°，O₁是圆盘在AB上滚动到与BC相切时的圆心位置，
∴此时⊙O₁与AB和BC都相切．
则∠O₁BE=∠O₁BF=60度．
此时Rt△O₁BE和Rt△O₁BF全等，
在Rt△O₁BE中，BE=

10 3

3

cm．
∴OO₁=AB-BE=（60-

10 3

3

）cm．
∵BF=BE=

10 3

3

cm，
∴O₁O₂=BC-BF=（40-

10 3

3

）cm．
∵AB∥CD，BC与水平夹角为60°，∴∠BCD=120度．
又∵∠O₂CB=∠O₃CD=90°，
∴∠O₂CO₃=60度．
则圆盘在C点处滚动，其圆心所经过的路线为圆心角为60°且半径为10cm的圆弧

O2O3

．
∴

O2O3

的长=

60

360

×2π×10=

10

3

πcm．
∵四边形O₃O₄DC是矩形，
∴O₃O₄=CD=40cm．
综上所述，圆盘从A点滚动到D点，其圆心经过的路线长度是
（60-

10 3

3

）+（40-

10 3

3

）+

10

3

π+40=（140-

20 3

3

+

10

3

π）cm．

点评：本题主要考查了弧长公式，但本题的难点在画轨迹图，注意画此题时要根据圆心来画．