【题目】如图,在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,P、Q分别是BM、DN的中点.
(1)求证:△MBA≌△NDC;
(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形?请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)四边形MPNQ是菱形.
【解析】证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∵AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°,
∵在矩形ABCD中,M、N分别是AD.BC的中点,
∴AM=AD,CN=BC,
∴AM=CN,
在△MAB≌△NDC,
∵,
∴△MAB≌△NDC;
(2)四边形MPNQ是菱形,
理由如下:连接AN,
易证:△ABN≌△BAM,
∴AN=BM,
∵△MAB≌△NDC,
∴BM=DN,
∵P、Q分别是BM、DN的中点,
∴PM=NQ,
∵DM=BN,DQ=BP,∠MDQ=∠NBP,
∴△MQD≌△NPB.
∴四边形MPNQ是平行四边形,
∵M是AB中点,Q是DN中点,
∴MQ=AN,
∴MQ=BM,
∴MP=BM,
∴MP=MQ,
∴四边形MQNP是菱形.
(1)根据矩形的性质和中点的定义,利用SAS判定△MBA≌△NDC;
(2)四边形MPNQ是菱形,连接AN,有(1)可得到BM=CN,再有中点得到PM=NQ,再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ=PN,从而证明四边形MPNQ是平行四边形,利用三角形中位线的性质可得:MP=MQ,进而证明四边形MQNP是菱形.
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【题目】如图1我们称之为“8字形”,请直接写出∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系: ;
(2)如图2,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= 度
(3)如图3所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,猜想∠C,∠P,∠D之间的数量关系,并证明.
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【题目】已知:如图所示.
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′,并写出△A′B′C′三个顶点的坐标.
(2)在x轴上画出点P,使PA+PC最小,并直接写出此时PA+PC的最小值.
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【题目】经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转或向右转,由于该十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的,因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计,发现汽车在此十字路口向右转的频率为,向左转和直行的频率均为.
(1)假设平均每天通过该路口的汽车为5 000辆,求汽车在此向左转、向右转、直行的车辆各是多少辆;
(2)目前在此路口,汽车向左转、向右转、直行的绿灯亮的时间都为30 s,在绿灯亮总时间不变的条件下,为了缓解交通拥挤,请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整.
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【题目】在等腰三角形ABC中,AB=AC,D是AB延长线上一点,E是AC上一点,DE交BC于点F.
(1)如图①,若BD=CE,求证:DF=EF.
(2)如图②,若BD=CE,试写出DF和EF之间的数量关系,并证明.
(3)如图③,在(2)的条件下,若点E在CA的延长线上,那么(2)中结论还成立吗?试证明.
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【题目】某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务. 已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成. 工厂现有80名工人,每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置.工厂将所有工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置,并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品.
(1)按照这样的生产方式,工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品?
(2)为了在规定期限内完成总任务,工厂决定补充一些新工人,这些新工人只能独立进行G 型装置的加工,且每人每天只能加工4个G型装置. 请问至少需要补充多少名新工人?
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.
求证:(1)FC=AD;
(2)AB=BC+AD.
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