（1）观察与猜想：已知当0°＜α＜60°时，下列关系式有且只有一个正确，正确的是

（填代号）
A．2sin（30°+α）=sinα+

B．2sin（30°+α）=2sinα+

C．2sin（30°+α）=

sinα+cosα．
（2）探究与证明：如图1，△ABC中，∠A=α，∠B=30°，AC=1，请利用图1证明（1）中你猜想的结论；
（3）应用新知识解决问题：
两块分别含有45°和30°的直角三角板如图2方式摆放在同一平面内，BD=8

，求S_△ABC．

分析：（1）正确的选项为C；
（2）过A作AD⊥BM，交BC延长线于点M，过C作CE⊥AB，在直角三角形ABM中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，得到AM等于AB的一半，再由∠ACM为三角形ABC的外角，利用外角性质得到∠ACM=30°+α，在直角三角形AEC中，表示出EC与AE，在直角三角形BEC中，表示出BE，由AE+EB表示出AB，化简后即可得证；
（3）由上述结论2sin（30°+45°）=

sin45°+cos45°，求出sin75°的值，过A作AE垂直于BC，由BD分别求出AB与BC的长，在直角三角形AB中，利用锐角三角函数定义求出AE的长，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：

解：（1）正确的选项为C；
（2）过A作AM⊥BM，交BC延长线于点M，过C作CE⊥AB，
∵∠AMB=90°，∠B=30°，
∴AM=

AB，即AB=2AM，
∵∠ACM为△ABC的外角，
∴∠ACM=∠B+∠BAC=30°+α，
在Rt△ACM中，AC=1，
∴AM=ACsin∠ACM=sin（30°+α），
则AB=2sin（30°+α），
在Rt△AEC中，EC=ACsinα=sinα，AE=ACcosα=cosα，
在Rt△BEC中，BE=

tan30°

CE=

sinα，
则AB=BE+AE=

sinα+cosα，
则2sin（30°+α）=

sinα+cosα；
（3）∵∠ABD=45°，∠CBD=30°，
∴2sin（30°+45°）=

sin45°+cos45°=

，
∴sin75°=

，
过A作AE⊥BC，
在等腰直角三角形ABD中，BD=8

，
∴AB=AD=8，
在Rt△BCD中，BD=8

，
∴CD=4

，BC=

BD2-CD2

，
在Rt△ABE中，sin75°=

，
∴AE=8×

，
则S_△ABC=

BC•AE=

×4

×（2

）=24+8

．

点评：此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：含30°直角三角形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及特殊角的三角函数值，熟练性质及定理是解本题的关键．

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科目：初中数学 来源： 题型：

已知：矩形纸片ABCD中，AB=26厘米，BC=18.5厘米，点E在AD上，且AE=6厘米，点P是AB边上一动点．按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN（如图1所示）；
步骤二，过点P作PT⊥AB，交MN所在的直线于点Q，连接QE（如图2所示）
（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ

QE（填“＞”、“=”、“＜”号）；
（2）如图3所示，将纸片ABCD放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
①当点P在A点时，PT与MN交于点Q₁，Q₁点的坐标是（

，

）；
②当PA=6厘米时，PT与MN交于点Q₂，Q₂点的坐标是（

，

）；
③当PA=12厘米时，在图3中画出MN，PT（不要求写画法），并求出MN与PT的交点Q₃的坐标；
（3）点P在运动过程，PT与MN形成一系列的交点Q₁，Q₂，Q₃，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么并直接写出该图象的函数表达式．③③

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（2012•龙岩质检）观察、猜想、探究
已知矩形ABCD中，直线l垂直AC于点C，点E是BC上的动点（不与点C重合），过点E作EF⊥AE交直线l于点F．
（1）如图①，当AB=BC，E为BC中点时，猜想线段AE与FE有何数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图②，已知AB=3，AD=4．
①当点E与点B重合时，求AE：EF的值；
②探究：当点E在线段BC上运动时，AE：EF的值是否发生改变？若不变，请求出该值并给予证明；若发生改变，请说明理由．