Question

15．在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在线段AC、AB、BC上，∠BEF=∠DBC，∠BDC=2∠DEF．
（1）求证：BE=BD；
（2）当EF⊥BC时，$\frac{FG}{BC}=\frac{1}{5}$，DE=4$\sqrt{2}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）证明∠BDE=∠BED，根据等角对等边得出结论；
（2）作两条垂线段，证明△BEF≌△NBD和△BGF≌△DNC，求出BN、BD、BE的长，设AE为a，在直角三角形ABD中根据勾股定理列方程，求出a的值，即AE的长．

解答 证明：（1）∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵∠BEF=∠DBC，
∴∠EFB=∠BDC，
设∠DEF=x，∠EDB=y，∠BEF=z，
在△EGD和△BGF中，x+y=z+2x，
y=x+z，即∠BDE=∠BED，
∴BD=BE，
（2）如图二，过D作DN⊥BC，DM⊥EF，垂足分别为N、M，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB=∠BDC=90°，
∴∠FED=45°，
Rt△EMD中，EM=MD=4，
由（1）知：BE=BD，
∵∠BEF=∠DBC，∠EFB=∠DNB=90°，
∴△BEF≌△NBD，
∴BF=DN，
设FG=x，则BC=5x，
∵△BGF≌△DNC，
∴NC=FG=x，
∵FG∥DN，
∴$\frac{FG}{DN}=\frac{BF}{BN}$，
∴$\frac{x}{DN}=\frac{DN}{4x}$，
∴DN²=4X²，
∴DN=2x，
∵BN=EF，
∴4x=4+2x，x=2，
∴BF=4，EF=BN=8，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，DC=$\sqrt{1{0}^{2}-（4\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
设AE=a，则AB=a+4$\sqrt{5}$，AD=a+4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{5}$=a+2$\sqrt{5}$，
∴AB²=AD²+BD²，
（a+4$\sqrt{5}$）²=（a+2$\sqrt{5}$）²+（4$\sqrt{5}$）²，
a=$\sqrt{5}$，
即AE=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质与相似三角形的性质与判定，综合性较强；第一问比较简单，利用等边对等角得出结论；第二问利用了直角三角形和45°角的特殊性与已知的边长相结合求出未知的边长，再利用全等三角形和相似三角形对应边的比求出BE的长，使问题得到解决．