Question

已知，关于x的一元二次方程x²-（a-4）x-a+3=0（a＜0）．
（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），若y是关于a的函数，且y=

2x2

3+x1

，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，利用函数图象，求关于a的方程y+a+1=0的解．

Answer 1

分析：（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根，就是证明方程的判别式△＞0即可；
（2）由求根公式及两根关系确定x₁，x₂代入求得y．即可求得函数解析式；
（3）a＜0及一次函数，反比例函数的作图法求出a的值．

解答：解：（1）△=（a-4）²+4（a-3）=a²-4a+4=（a-2）²
∵a＜0，∴（a-2）²＞0．
∴方程一定有两个不相等的实数根；

（2）x=

(a-4)± (a-2)2

2

=

(a-4)±(a-2)

2

，
∴x=a-3或x=

a-4-a+2

2

=-1．
∵a＜0，x₁＜x₂，
∴x₁=a-3，x₂=-1，
∴y=

2x2

3+x1

=

-2

3+a-3

=-

2

a

（a＜0）；

（3）如图，在同一平面直角坐标系中分别画出y=-

2

a

（a＜0）和y=-a-1（a＜0）的图象．
由图象可得当a＜0时，方程y+a+1=0的解是a=-2．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，利用求根公式正确求得方程的根，是解题的关键，并且本题利用函数的图象解题，体现了数形结合的思想．