Question

若x₁，x₂是关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，则方程的两个根x₁，x₂和系数a，b，c有如下关系：x₁+x₂=-，x₁•x₂=，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理，请利用此定理解答一下问题：
已知x₁，x₂是一员二次方程（m-3）x²+2mx+m=0的两个实数根．
（1）是否存在实数m，使-x₁+x₁x₂=4+x₂成立？若存在，求出m的值，若不存在，请你说明理由；
（2）若|x₁-x₂|=，求m的值和此时方程的两根．

Answer 1

解：（1）存在．
∵x₁，x₂是一元二次方程（m-3）x²+2mx+m=0的两个实数根，
∴m-3≠0且△=4m²-4（m-3）•m≥0，
∴m的取值范围为m≥0且m≠3，
根据根与系数的关系得x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
∵-x₁+x₁x₂=4+x₂，
∴x₁x₂=4+x₁+x₂，
∴=4-，
∴m=12；

（2）∵|x₁-x₂|=，
∴（x₁-x₂）²=3，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=3，
∴（-）²-4×=3，解得m₁=1，m₂=9，
当m=1时，原方程变形为2x²-2x-1=0，解得x₁=，x₂=；
当m=9时，原方程变形为2x²+6x+3=0，解得x₁=，x₂=．
分析：（1）先根据根的判别式得到m的取值范围为m≥0且m≠3，再根据根与系数的关系得x₁+x₂=-，x₁•x₂=，然后利用-x₁+x₁x₂=4+x₂得=4-，再解关于m的方程即可；
（2）先利用完全平方公式变形得到（x₁-x₂）²=3，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=3，再把x₁+x₂=-，x₁•x₂=代入得到（-）²-4×=3，解得m₁=1，m₂=9，
然后分别把m的值代入原方程，并且利用公式法解方程．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判别式．